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Di un triangolo ABC si conoscono BC=a e la mediana AD relativa al lato BC, mediana che misura $(sqrt(3))/6$. Si sa inoltre che ABC+ACB=60°. Determinare gli angoli del triangolo.

Non so cosa devo fare? So solo che il terzo angolo è 120°.
Ho provato con la formula del seno ma non riesco a venirne fuori

Ti consiglio di considerare l'angolo $ ACB $ come l'incognita $ x $. A quel punto l'angolo $ ABC $ ti diventa $ pi/3-x $. La mediana $ bar(AM) $ te la fornisce il testo mentre $ bar(CM) $ = $ bar(BM) $ = $ a/2 $. A questo punto il triangolo iniziale ti si divide in due triangoli aventi un lato in comune (la mediana) e dei quali conosci un angolo e due lati. Ricordati poi che l'angolo in $A$ (che viene diviso dalla mediana) , come hai osservato, varrà $ 2pi/3 $. Ricordandoti del teorema dei seni, sei ora in grado di risolvere il problema?

EDIT: Idiota io. Esprimere tutto in funzione di $x$ non credo di aiuterà. Purtroppo sono di fretta e ci ho pensato 2 minuti e cosi mi sa proprio che rischio di mandarti fuori strada. Se riesco al tornare stasera al PC faccio un diesgno cosi da avere la situazione più chiara.

Fin qui ci ero arrivato,, ma poi applicando il teorema dei seni oltre alla x ho altre incognite...

Il fatto che un segmento sia a e l'altro un numero complica molto i calcoli, che quindi non ha completato. Sicuro che la mediana non sia $sqrt3/6 a$? La mia traccia di soluzione, probabilmente migliorabile, è questa: posto $x=B \hatAD$, e quindi $D \hatAC=120^o-x$, col teorema dei seni calcolo quelli di $\hatB, \hatC$, poi impongo che i punti B, C, D siano allineati chiedendo che sia $\hatB+ \hatC=120^o$.

Avevo provato anche io quella impostazione ma i calcoli sono davvero rognosi, il che mi semrava strano.

Ma sarebbero molto più abbordabili se BC e la mediana fossero entrambi multipli di a; da qui la mia domanda a caseyn27. Ho comunque provato a farli: acquistano una gradevole simmetria indicando i due angoli in A con 60°+x e 60°-x. Indicando con $s_1,s_2$ i loro seni e con b la mediana, arrivo a $16b^2(s_1^2+s_1s_2+s_2^2)=3a^2$, salvo errori nei lunghi calcoli.

Ho continuato a cercare una soluzione che non richiedesse troppi calcoli, trovando quella che segue. Se qualcuno ha una soluzione migliore, lo prego di renderla nota.
Pongo $AD=b; A \hatDB=x; B \hatAD=u; D \hatAC=v$,con $u+v=120^o$. Se ne deduce $\hatB=180^o-(x+u)$ nonché $\hatC=180^o-v-(180^o-x)=x-v$.
Applicando il teorema dei seni ai triangoli ABD e ADC, dopo un facile passaggio trovo
${(a sen(x+u)=2bsen u),(asen(x-v)=2bsenv):}$ cioè ${(a senx cosu+a cosx sen u=2bsen u),(a senx cosv-acosx senv=2bsenv):}$
Con combinazioni lineari, elimino prima il coseno e poi il seno di x, ottenendo
${(a senx(cosu senv+cosv sen u)=2b*2 sen u senv),(a cosx(sen u cosv+senv cosu)=2b(sen u cosv-senv cosu)):}$
Ma si ha
$cosu senv+cosv sen u=sen(u+v)=sen120^o=sqrt3/2$
$2sen u cosv=cos(u-v)-cos(u+v)=cos(u-v)-cos120^o=cos(u-v)+1/2$
$sen u cosv-senv cosu=sen(u-v)$
e quindi il sistema è
${(sqrt3/2asenx=2b[cos(u-v)+1/2]),(sqrt3/2acosx=2bsen(u-v)):}$
Quadrando, sommando ed applicando la prima formula fondamentale della goniometria ottengo
$3/4a^2=4b^2[1+cos(u-v)+1/4]$
e basta qualche passaggio algebrico per avere
$cos(u-v)=(3a^2-20b^2)/(16b^2)$
Con i dati inizialmente forniti si può proseguire solo con l'arcocoseno; con la correzione da me proposta e cioè $b=sqrt3/6a$ il secondo membro vale 1, quindi $u=v$: la mediana è anche bisettrice e il triangolo è isoscele.
Questa conclusione suggerisce anche un altro metodo: notare che il triangolo isoscele è soluzione in quanto soddisfa ai dati forniti e dimostrare che è l'unica (non ho provato e non so se è facile o no); considero però poco soddisfacente un metodo che si basa sul fatto di essere in un caso particolare.