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quesito funzioni

MessaggioInviato: 21/09/2010, 15:05
da caseyn27
Dire se $f(x)=senxcosx$ è una funzione pari o dispari. Determinare la funzione inversa precisando in quale intervallo può essere effettuata l'inversione. Utilizzando un'opportuna trasformazione geometrica tracciare il grafico della funzione.

La funzione è dispari perchè sostituendo -x alla x si ottiene -f(x). Ma non so ottenere la funzione inversa, perchè non riesco ad esplicitare la x. E poi l'intervallo qual è? E il grafico come lo si ottiene?

MessaggioInviato: 21/09/2010, 15:14
da Blackorgasm
hai sbagliato sezione dove postare (dopo 93 messaggi?) :shock:

Re: quesito funzioni

MessaggioInviato: 21/09/2010, 15:34
da enomis
caseyn27 ha scritto:Dire se $f(x)=senxcosx$ è una funzione pari o dispari. Determinare la funzione inversa precisando in quale intervallo può essere effettuata l'inversione. Utilizzando un'opportuna trasformazione geometrica tracciare il grafico della funzione.

La funzione è dispari perchè sostituendo -x alla x si ottiene -f(x). Ma non so ottenere la funzione inversa, perchè non riesco ad esplicitare la x. E poi l'intervallo qual è? E il grafico come lo si ottiene?


Applicando la formula di duplicazione del seno, si trova che la tua funzione può essere scritta nella forma equivalente $f(x)=1 /2 sen (2x)$

Nell'intervallo $[-pi/4, pi/4]$ la funzione è invertibile e la sua inversa è: $f^{-1}(y)= 1/2 arcsen(2y)$

MessaggioInviato: 21/09/2010, 22:14
da caseyn27
come mai la funzione è invertibile tra $[-π/4;π/4]$ ?

MessaggioInviato: 22/09/2010, 10:29
da Røland
il codominio dell'arcsen è $\[ -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \]$
ma tu hai $2y$ come argomento dell'arcsen, quindi $y$ deve appartenere all'intervallo detto sopra per poter applicare l'arcsen

MessaggioInviato: 22/09/2010, 13:09
da enomis
In realtà non è l'unico intervallo possibile, perchè la funzione seno è invertibile in tutti gli intervallo del tipo $ [- pi/2 + k pi, pi/2 + k pi]$, dove k è un qualsiasi numero intero. Di conseguenza la funzione $y =1/2 sen(2x)$ è invertibile in ogni intervallo del tipo $[-pi/4 + k/2 pi, pi/4 + k/2 pi]$

La funzione y = arc sen x viene però (convenzionalmente) definita come la funzione inversa della funzione y = sen x definita sull'insieme $[-pi/2,pi/2]$ e questo spiega perchè mi sono limitato a ragionare sull'invertibilità nell'intervallo $[-pi/4,pi/4]$