Problema sull'intersezione di due circonferenze

Salve a tutti, mi è stato posto questo simpatico problema, che ho provato ad affrontare utlizzando vari metodi, ma arrivo sempre ad un vicolo cieco,
i dati del mio problema sono i raggi delle due circonferenze e l'area dell'intera intersezione ( quella tratteggiata) e devo ricavare la lunghezza del segmento L
L'immagine dovrebbe chiarire i dati del problema.
Avete qualche idea?

Sia $A$ l'area tratteggiata. Mi domando se possa sussistere la proporzione $\pir^2-A:r-L=\piR^2-A:R-L$...

purtroppo non funziona, ho verificato sperimentalmente con un cad inpostando r=10 R=50 e la distanza L = 3 si ottiene un area di 18.605 mentre provando ad inserire gli stessi dati nella proporzione da te proposta si ottiene un area di -1005.309

Secondo me, il problema è risolubile solo numericamente, con metodi approssimati.
Nomenclatura: \( \displaystyle A,B \) sono le intersezioni delle circonferenze; nella circonferenza di raggio \( \displaystyle r \) , \( \displaystyle O \) è il centro e \( \displaystyle \alpha \) l'angolo \( \displaystyle A \hat O B \) ; nell'altra circonferenza, gli analoghi sono \( \displaystyle O_1 \) e \( \displaystyle \beta \) ; \( \displaystyle H \) è l'intersezione di \( \displaystyle AB \) con \( \displaystyle OO_1 \) .
Poiché AH è cateto di due triangoli rettangoli, possiamo scrivere
(1) $r sin (alpha/2)=R sin (beta/2)$
AB divide l'area S in due segmenti circolari; da un buon libro di geometria (o da facili calcoli) si ricava che l'area di un segmento circolare di raggio r ed angolo al centro $alpha$ radianti è $r^2/2(alpha-sin alpha)$; quindi
(2) $S=r^2/2(alpha-sin alpha)+R^2/2(beta-sin beta)$
Le equazioni (1) e (2) formano un sistema da cui ricavare le incognite \( \displaystyle \alpha \) e \( \displaystyle \beta \) ; lo si risolve e poi si calcola $l$ dalla formula
$r+R-l=rcos (alpha/2)+Rcos (beta/2)$.
Purtroppo le incognite compaiono sia in funzioni goniometriche che al di fuori di esse, e questo esclude una soluzione in formula.

Anche io ero giunto alla stessa conclusione, sì.

Numericamente non dovrebbero esserci grosse difficoltà...

Anche io ero giunto alla stessa conclusione, o meglio allo stesso punto, cosa intendi per soluzione numerica?

Anche io ero giunto alla stessa conclusione, o meglio allo stesso punto, cosa intendi per soluzione numerica?

Devi avere una funzione che ti da l'area della regione di piano in funzione di un solo parametro, p. es. $alpha$ ( $A(alpha)$ ).

Per ottenere questa $A(alpha)$ - prendendo abusivamente in prestito le formule di Giammaria, che spero non mi lanci qualche anatema - basta esplicitare $beta$ dalla (1) e sostituirlo in (2).

Poi devi calcolare quanto misura $alpha$ se l'area è quella dei dati del problema (chiamala $D$ ).

Allora devi risolvere - penso numericamente - l'equazione $A(alpha) = D$

penso tu intenda dire
$ D=r^2/2*(a -sin a) + R^2/2*(2*sin^-1(r/R *sin (a/2))- sin(2*sin^-1(r/R* sin(a/2)) $
spero di averla riportata correttamente
mi resta sempre il dubbio di cosa intendi con soluzione numerica

penso tu intenda dire
$ D=r^2/2*(a -sin a) + R^2/2*(2*sin^-1(r/R *sin (a/2))- sin(2*sin^-1(r/R* sin(a/2)) $
spero di averla riportata correttamente
mi resta sempre il dubbio di cosa intendi con soluzione numerica

Come credi di poter risolvere analiticamente, esplicitando una soluzione "perfetta" da questa equazione orrida?

Devi trovare una soluzione approssimata.

perfetto grazie , non ti innervosire, mi serviva una conferma al risultato che avevo raggiunto ( per questo non avevo proposto nessun tipo di soluzione all'inizio) vai per approssimazioni sucessive con un algoritmo tipo ripple fino ad avvicinarti quanto basta alla tua area richiesta noto l'angolo calcoli la L.

Grazie e ciao