Problema sull'intersezione di due circonferenze

[Seneca]

Esatto.

Non mi sono innervosito; volevo essere chiaro. Quale miglior modo?

[giammaria]

Concordo con le ultime osservazioni e, ad occhio, direi che l'area cresce al crescere di $alpha$ e quindi la soluzione è unica; volendosene accertare, si può dare ad $alpha$ numerosi valori e considerare il grafico dell'area in funzione di $alpha$.
Robertom, toglimi una curiosità: fra tutte le lettere dell'alfabeto, perché indichi l'area proprio con D?

[robertom]

comunqe ho provato a razionalizzare un po' l' equazione ottendo
$D= cos^-1((r^2+p^2-R^2)/(2*r*p))*r^2+cos^-1((R^2+p^2-r^2)/(2*R*p))*R^2-p*r*sqrt(1-((r^2+p^2-R^2)/(2*r*p))^2)$
dove
$p=r+R-L$
l'equazione esce dal teorema di carnot in quanto
$ cos(a/2)= (r^2+p^2-R^2)/(2*r*p)$

scrivendo poi un programmino in Vb è stato abbastanza semplice ricavare un area sufficientemente precisa

L'uso di D per l'area è legata al semplice fatto che non riuscendo a scrivere alfa ho usato a per l'angolo e quindi per non confodere a con A ho usato D nulla di più

Grazie a tutti per l'aiuto, in effetti alla fine trovando conferma dell'impossibilità di trovare un equazione perfetta, la soluzione è stata abbastanza semplice

(edit 14-11-2010 errore di battitura sull'esponente del cos)

[giammaria]

Mi riesce nuova la scritta $cos^1(x)$; io ho sempre usato $arccos(x)$ o $cos^(-1) (x)$. Si tratta di un problema di scrittura al computer, o qualcuno la utilizza? A parte questo, avevo trovato la stessa formula; solo, avevo preferito dare denominatore comune nella radice e portarlo fuori, semplificandolo. Avevo anche notato che la radice così ottenuta è, a meno di potenze di 2, l'area del triangolo $OO_1A$.
Partendo dalle equazioni che ho scritto, ho trovato anche un'altra formula carina: ponendo $x=rsin(alpha/2)=R sin (beta/2)$ si ottiene
$S=D=r^2 arcsin (x/r)-x sqrt(r^2-x^2)+R^2 arcsin (x/R)-x sqrt(R^2-x^2)$

Per i moderatori: si può evitare di vedere la parentesi, per esempio in $arcsin (x/r)$ ? Se la tolgo, risulta diviso per $r$ l'intero arcoseno.

[arghlal]

Per i moderatori: si può evitare di vedere la parentesi, per esempio in $arcsin (x/r)$ ? Se la tolgo, risulta diviso per $r$ l'intero arcoseno.

\( \displaystyle arcsin\frac{x}{r} \)

Puoi farlo con tex usando i tag e \frac{numeratore}{denominatore}

[dissonance]

Il suggerimento di arghlal funziona anche in ASCIIMathML:

\$arcsin frac{x}{r}\$ - $arcsin frac{x}{r}$.

P.S.: Le parentesi graffe si fanno con AltGr + "è", AltGr + "+".

[giammaria]

Grazie a entrambi.

[robertom]

E' interessante la tua equazione gian, solo che se non ho capito male hai relazionato l'area alla semicorda, quindi devi poi fare altri calcoli per determinare la L, correggimi se sbaglio.

Comunque grazie a tutti allego a seguito un pezzo di codice VB che pemette di fare il calcolo di cui abbiamo parlato con un algoritmo di tipo ripple, fermandosi quando il delta è minore di 0.001

Codice:

Public Function CalcDist(R1 As Double, R2 As Double, Area As Double) As Double
Dim OldStep As Double
Dim Q1 As Double
Dim Q2 As Double
Dim D As Double
Dim R1q As Double
Dim R2q As Double
Dim CurStep As Double
Dim NewStep As Double
Dim TempArea As Double
R1q = R1 * R1
R2q = R2 * R2
NewStep = 1
Do
    OldStep = CurStep
    CurStep = NewStep
    D = R1 + R2 - CurStep
    Q1 = (R1q + D ^ 2 - R2q) / (2 * R1 * D)
    Q2 = (R2q + D ^ 2 - R1q) / (2 * R2 * D)
    TempArea = ArcCos(Q1) * R1q + ArcCos(Q2) * R2q - D * R1 * Sqr(1 - Q1 ^ 2)
    NewStep = CurStep * 2
Loop While TempArea < Area
Do
    CurStep = OldStep + (NewStep - OldStep) / 2
    D = R1 + R2 - CurStep
    Q1 = (R1q + D ^ 2 - R2q) / (2 * R1 * D)
    Q2 = (R2q + D ^ 2 - R1q) / (2 * R2 * D)
    TempArea = ArcCos(Q1) * R1q + ArcCos(Q2) * R2q - D * R1 * Sqr(1 - Q1 ^ 2)
    If TempArea > Area Then
        NewStep = CurStep
    ElseIf TempArea < Area Then
        OldStep = CurStep
    Else
        Exit Do
    End If
Loop While (NewStep - OldStep) > 0.001
CalcDist = CurStep
End Function


[giammaria]

se non ho capito male hai relazionato l'area alla semicorda, quindi devi poi fare altri calcoli per determinare la L, correggimi se sbaglio.

Non sbagli, ma non sono calcoli difficili: si ha $L=r-sqrt(r^2-x^2)+R-sqrt(R^2-x^2)$

[robertom]

Hai ragione i calcoli non sono difficili, solo che per la computazione con calcolatore ti trovi 2 funzioni trigonometriche e quattro radici che hanno parecchio peso
ciao