da Camillo » 19/11/2005, 18:09
La derivata parziale di z rispetto ad x la indico come $dz/dx$ , analogamente la derivata parziale rispetto ad y la indico con $dz/dy $ in quanto non trovo il segno corretto da usare.
$dz/dx = 9x^2+9y^2-5 $
$dz/dy = 18xy +4 $
Per trovare i punti critici devo eguagliare a 0 entrambe le derivate e risolvere il sistema formato dalle 2 equazioni :
Divido la prima per 9 e la seconda semplifico per 2 ottenendo :
$x^2 +y^2 = 5/9 $
$ xy = -2/9 $.
Adesso uso un semplice artificio : $x^2+y^2 = (x+y)^2 -2xy $.
Quindi il sistema diventa :
$ (x+y)^2 -2xy = 5/9$
$xy = -2/9 $
e quindi :
$(x+y)^2 -2(-2/9) = 5/9$
$xy = -2/9$
da cui :
$ x+y = + - 1/3 $
$xy = -2/9 $
Ho quindi 2 sistemi da risolvere :
il primo :
$x+y = 1/3 $
$xy = -2/9 $
che dà luogo all'equazione risolvente : $ t^2-1/3t-2/9 = 0 $ che ha soluzioni : $ t = 2/3 ,-1/3 $ e quindi essendo un sistema simmetrico si hanno i punti critici :
$ P1 ( 2/3 , -1/3 ) ; P2(-1/3 , 2/3 )$
Il secondo sistema è :
$ x+y = -1/3 $
$ xy = -2/9 $ che dà luogo all'equazione risolvente :
$ 9 t^2+3t-2 = 0$ con soluzioni : $ t = -2/3 , 1/3 $ e quindi si hanno i punti critici :
$P3(-2/3 , 1/3 ) ; P4 ( 1/3, -2/3) $.
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