Funzione in 2 variabili

Messaggioda uliste » 19/11/2005, 17:52

Ciao ragazzi ho appena scoperto questo forum e spero vogliate darmi una mano a risolvere questo esercizio...è tutto il pomeriggio che non riesco a venirne a capo...soprattutto ho difficoltà nei passaggi algebrici!
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Determinare i punti stazionari della funzione con i passaggi algebrici relativi al sistema delle derivate parziali eguagliate a zero, della seguente funzione in 2 variabili:
z = 3x^3 + 9xy^2 - 5x + 4y
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riuscireste anche a farmi vedere un grafico dei punti critici?
Grazie mille!
Ste.
uliste
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Messaggioda Camillo » 19/11/2005, 18:09

La derivata parziale di z rispetto ad x la indico come $dz/dx$ , analogamente la derivata parziale rispetto ad y la indico con $dz/dy $ in quanto non trovo il segno corretto da usare.

$dz/dx = 9x^2+9y^2-5 $

$dz/dy = 18xy +4 $

Per trovare i punti critici devo eguagliare a 0 entrambe le derivate e risolvere il sistema formato dalle 2 equazioni :
Divido la prima per 9 e la seconda semplifico per 2 ottenendo :

$x^2 +y^2 = 5/9 $
$ xy = -2/9 $.

Adesso uso un semplice artificio : $x^2+y^2 = (x+y)^2 -2xy $.

Quindi il sistema diventa :

$ (x+y)^2 -2xy = 5/9$
$xy = -2/9 $

e quindi :
$(x+y)^2 -2(-2/9) = 5/9$
$xy = -2/9$
da cui :

$ x+y = + - 1/3 $
$xy = -2/9 $
Ho quindi 2 sistemi da risolvere :
il primo :

$x+y = 1/3 $
$xy = -2/9 $
che dà luogo all'equazione risolvente : $ t^2-1/3t-2/9 = 0 $ che ha soluzioni : $ t = 2/3 ,-1/3 $ e quindi essendo un sistema simmetrico si hanno i punti critici :
$ P1 ( 2/3 , -1/3 ) ; P2(-1/3 , 2/3 )$

Il secondo sistema è :

$ x+y = -1/3 $
$ xy = -2/9 $ che dà luogo all'equazione risolvente :

$ 9 t^2+3t-2 = 0$ con soluzioni : $ t = -2/3 , 1/3 $ e quindi si hanno i punti critici :

$P3(-2/3 , 1/3 ) ; P4 ( 1/3, -2/3) $.
Ultima modifica di Camillo il 19/11/2005, 18:44, modificato 3 volte in totale.
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Messaggioda uliste » 19/11/2005, 18:22

Grazie del suggerimento, purtroppo non riesco a calcolare le 4 soluzioni e le coordinate dei 4 punti stazionari...
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Messaggioda uliste » 19/11/2005, 21:33

Ok perfetto!! tutto chiaro e dettagliato!
Grazie mille e complimenti soprattutto per l'artificio!
E' difficile scrivere le formule nel modo grafico che hai utilizzato tu (con frazioni, esponenti. ecc...)?..scusa ma non sono ancora molto pratico...
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Messaggioda Camillo » 20/11/2005, 00:10

Math Player è facile da usare : vai nella pagina inziale

https://www.matematicamente.it/forum/accesso.htm

e scegli :

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Re: Funzione in 2 variabili

Messaggioda Gucciniana » 24/02/2018, 12:16

Avrei una domanda.. probabilmente sembrerò scema ma non ho capito questo passaggio.. x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy (l'artificio per intenderci). è una formula o da dove è stato ricavato?
Grazie per la risposta
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Re: Funzione in 2 variabili

Messaggioda mgrau » 24/02/2018, 12:30

Ciao! :D
1) non si usa ripescare post morti e sepolti (13 anni fa!), aprine uno nuovo
2) le formule mettile fra dollari, così x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy diventa $ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$
3) non hai notato che il quadrato di binomio $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ per cui, se sottrai $2xy$...
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Re: Funzione in 2 variabili

Messaggioda @melia » 24/02/2018, 12:31

Si chiama prima formula di Waring, ma la puoi dedurre facilmente dal quadrato del binomio. È un classico artificio per risolvere sistemi di grado superiore al secondo, quando le variabili sono simmetriche.

Non mi ero accorta del caso di necroposting.
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