Interessante proprietà
Non l'avevo mai notata.
Si può "facilmente" dimostrare per induzione su $k$ (bisognerà sfruttare la formula di duplicazione del seno: $sin(2x)=2cos(x)sin(x)$)
Da quella proprietà si ha come caso particolare proprio $cos(20)*cos(40)*cos(80)=1/8$, ponendo $x=20$ e $k=3$
Infatti $cos(20)*cos(40)*cos(80)=prod_(j=0)^(2) cos(2^j*20)=sin(8*20)/(8*sin(20))=sin(160)/(8*sin(20))=1/8*(sin160/sin20)$
Ora, $sin(160)=sin(180-20)$ e noi sappiamo che $sin(180- alpha)=sin(alpha)$. Dunque, $sin160/sin20=1$, da cui la tesi.