teorema di rolle i perchè delle ipotesi

[Seneca]

Non sono d'accordo, avrebbe senso dire che è derivabile in $[a,b]$. Infatti la definizione di limite parla di intorni intersecati con il dominio: se il domino è solo a destra del punto, automaticamente si andrà a controllare la condizione soltanto per i punti lì a destra. Soltanto che, essendo sufficiente che lo sia nell'intervallo aperto, nelle ipotesi si mette quello.
Inoltre, senza questa ipotesi il teorema potrebbe non valere: pensa ad esempio a questa funzione.

Con la classica definizione di derivabilità non ha senso dire che $f$ è derivabile nell'intervallo chiuso $[ a , b ]$.

Infatti sul testo di Prodi si estende la definizione dicendo che se $f$ è derivabile in $] a , b [$ e ha derivate sinistra e destra finite risp. in $b$ e in $a$, allora si dice che $f$ è derivabile in $[a , b]$.

Ma è una cosa che molti autori non fanno. Quindi non solo non c'è bisogno di quell'ipotesi, ma sarebbe anche una esagerazione.

[yellow]

Ahah è la seconda volta in due giorni che abbiamo totale divergenza di definizioni!
Ma allora dire che è continua in $[a,b]$ presenterebbe lo stesso problema. Infatti secondo te non ha senso parlare di $lim_{x->a}f(x)$.
Tutte le definizioni che io ho visto di limite invece erano del tipo "per ogni numero reale ε > 0 esiste un altro numero reale positivo δ tale che
| f(x) − l | < ε per ogni x in X con 0 < | x − x0 | < δ" (Wikipedia), ossia le x nell'intorno reale che non appartengono al dominio (X) non falsificano la proposizione.
E' ovvio invece che se la funzione è definita in tutto un intorno di numeri reali del punto, devono esistere sia limite sinistro che limite destro e coincidere.

EDIT: ho controllato sul Giusti, sui miei appunti e su delle dispense che avevo utilizzato. Devo darti ragione, tutti quanti definiscono la derivata solo in intervalli aperti. Strano perché invece il limite del rapporto incrementale esisterebbe pure, agli estremi. Cos'è che non piace del concetto di derivata calcolata in un estremo dell'intervallo? Mi viene in mente solo che facilita le cose per la generalizzazione a funzioni di più variabili, dove le derivate parziali in insiemi non aperti presenterebbero dei problemi più brutti. Ma non è una spiegazione convincente.

[yellow]

(C'è una domanda implicita: cosa ne pensate? Qualcuno ne sa qualcosa in più?)

[@melia]

Sapete che cosa vi dico?
Vi dò questa funzione $f(x)=sqrt(1-x^2)$ in $[-1; 1]$, verifica le ipotesi del teorema, compresa la derivabilità in $(-1; 1)$, ma non negli estremi, e, ovviamente, verifica la tesi.

La definizione di Seneca è condivisibile, ma presuppone, appunto, che le derivate destra e sinistra, rispettivamente in $a$ e in $b$ siano finite, cosa che Rolle non chiede.

Nelle ipotesi di Rolle basta la derivabilità in $(a, b)$ perché nella dimostrazione solo quella serve.

[yellow]

Ma su questo siamo d'accordo, è pure lo stesso esempio che ho linkato all'autore del topic. Soltanto che ero convinto in altre situazioni una funzione si potesse dire derivabile anche agli estremi! Gli esempi che si possono tirare fuori però sono tutte funzioni che sarebbero in effetti derivabili in quel punto ma hanno il dominio tagliato.

[@melia]

Non capisco che cosa intendi per "dominio tagliato", questa $f(x)=sqrt(|1-x^2|)$ ad esempio, secondo te ha il dominio tagliato oppure no?

[yellow]

Dipende. Scusa per la scarsissima chiarezza, intendevo una cosa del tipo:
$f:[0,1]->RR, f(x)=x^2$
Il suo domino naturale sarebbe $RR$ e con questa estensione sarebbe derivabile agli estremi. Ma se è definita solo in $[0,1]$, con la definizione di derivata che abbiamo non è derivabile in $0$ e $1$. Intendevo che un esempio di questo tipo non è molto buono per chiarire la situazione.

[Seneca]

Io credo che più che non essere derivabile, è privo di senso chiedersi se agli estremi sia derivabile, proprio per l'impossibilità di fare il limite da sinistra e da destra.

[yellow]

Nelle definizioni che conosco non si parla di derivata sinistra e derivata destra: si parla di limite del rapporto incrementale. Il limite per come è definito esiste anche se l'insieme di definizione è "tutto dallo stesso lato". Quindi avrebbe senso, ma è stato deciso di escluderne la possibilità.
Che poi sia un problema fondamentalmente inutile siamo d'accordo, ma dopo esserci rimasto fregato volevo capire un po' meglio il motivo.

[yellow]

EDIT: ho controllato sul Giusti, sui miei appunti e su delle dispense che avevo utilizzato. Devo darti ragione, tutti quanti definiscono la derivata solo in intervalli aperti. Strano perché invece il limite del rapporto incrementale esisterebbe pure, agli estremi. Cos'è che non piace del concetto di derivata calcolata in un estremo dell'intervallo? Mi viene in mente solo che facilita le cose per la generalizzazione a funzioni di più variabili, dove le derivate parziali in insiemi non aperti presenterebbero dei problemi più brutti. Ma non è una spiegazione convincente.

Scopro che il Lang è "d'accordo con me".