Circonferenza e cerchio

[Duch]

Salve,
ho parecchi problemi con questi problemi (scusatemi per il gioco di parole!).


1) Due circonferenze sono tangenti internamente in A; per l'estremo B del diametro AB della circonferenza maggiore si conduce una tangente alla circonferenza minore in C che incontri la maggiore in D; dimostrare che AC è bisettrice dell'angolo BAD.

2) In una circonferenza si consideri un diametro AB e per A si conducano due corde AC e AD tra loro perpendicolari. Siano E il simmetrico di A rispetto a D ed F il simmetrico di A rispetto a C. Dimostrare che i punti E, B, F sono allineati.

3) Sia gamma una semicirconferenza di diametro AB, D un punto di AB e C un punto di gamma. La retta per D perpendicolare ad AB e la retta AC si incontrino in F, mentre le rette DF e Cb si incontrino in E. Dimostrare che la tangente in C a gamma interseca il segmento EF nel suo punto medio.


In vista del compito, me li potete illustrare con limpidi procedimenti? Devo capire la vostra tecnica risolutiva, il modo in cui li affrontate.
Sicuro in una vostra risposta,
vi saluto anticipatamente.
Ciao!

~Duch~

[WonderP]

1) chiamiamo O il centro della circonferenza grande, O’ quello della circonferenza piccola ed E l’intersezione tra il diametro AB e la circonferenza piccola (AE diventa il suo diametro).
BCO’ è retto per costruzione (in C c’è tangenza); BDA è retto in quanto triangolo inscritto in una circonferenza e si poggia sul diametro, quindi i due triangoli CBO’ e DBA sono simili perché hanno un angolo in comune (quello in B) e un angolo retto, dunque gli angoli BO’C e BAD sono uguali.
Sfrutto il fatto che l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza, infatti data una corda (CE) l’angolo che poggia sul centro (CO’E) è il doppio di qualsiasi angolo che poggia sulla circonferenza (nel nostro caso CAE). Abbiamo dunque dimostrato che CAE è metà di CO’E che a sua volta è uguale a BAD, quindi CAE è metà di BAD. Come volevasi dimostrare AC è bisettrice di BAD.

WonderP.

[WonderP]

2) Sappiamo che l’angolo DAC è retto dal testo. I triangoli ADB e ACB sono rettangoli (come nel post precedente) perché triangoli inscritti giacenti su un diametro.
ADE sono allineati per ipotesi (simmetria) ed essendo ADB retto lo è anche BDE. Stesso discorso per ACB e BCF.
I triangoli ADB e EDB sono uguali perché retti, con un lato (DB) in comune e AD=DE per ipotesi (simmetria), quindi anche gli anche gli angoli BAD e BED sono uguali. Stesso discorso per i triangoli ACB e FCB, risulta che gli angoli CAB e CFB sono uguali.
BDA+CAB=90° per ipotesi (le due corde sono perpendicolari), quindi, per quanto appena detto, anche DEB+CFB=90°.
Prendiamo in considerazione il quadrilatero (poi dimostriamo che è un triangolo) AEBF. La somma degli angoli interni deve essere 360°, AEB+EBF+BFA+FAE=360°. Sappiamo che EAF=90° e AEB+AFB=90°, quindi 90°+EBF+90°=360°.
EBF=180°, quindi E B ed F sono tre punti allineati.

WonderP.

[WonderP]

3) Chiamiamo O il centro della semicirconferenza ed M il punto di intersezione tra EF e la tangente in C.
Considero il triangolo AOC. Questo è isoscele (AO e OC sono raggi) quindi OAC = OCA (*).

Voglio dimostrare che ADF e FCE sono simili:
Considero gli angoli in F. AFD = EFC perché angoli opposti (**).
L’angolo ACB è retto per il solito motivo (triangolo inscritto giacente su un diametro), quindi è retto anche ACE (BCE sono allineati per ipotesi) ed ADF è retto per ipotesi (DF perpendicolare a AB). I due triangoli hanno due angoli uguali quindi anche il terzo sarà uguale, FAD = FEC (***).

Per risolvere il problema voglio dimostrare che FM = MC e che MC = ME quindi FM = EM con M punto medio di EF.
OCM è retto per ipotesi (tangenza). FCM = OCM – ACO = 90° - ACO per (*) = 90° - CAO che considerando il triangolo rettangolo ADF risulta 90° - CAO = AFD (somma degli angoli interni 180°, 180° = CAO + AFD + 90°), per (**) AFD = EFC e quindi = FCM. Ho dimostrato che FMC = EFC quindi il triangolo FMC è isoscele, dunque FM = MC. Tutto chiaro? E’ un po’ complicato, al massimo dimmi dove ti sei perso.

Ora passiamo a dimostrare che CM = EM dimostrando che il triangolo CME è isoscele.
FCE è retto (visto sopra ACE retto), ragionamento simile a prima, MCE = FCE – FCM = 90° - FCM abbiamo visto che FCM = MFC = AFD, come prima consideriamo il triangolo ADF e possiamo vedere che per la somma degli angoli interni 90° - AFD = FAD, quindi abbiamo dimostrato che MCE = FAD, per (***) FAD = FEC, quindi MCE = FEC. Come volevamo abbiamo dimostrato che il triangolo CME è isoscele, quindi CM =EM.
FM = EM con M punto medio di EF.

Era un po’ complicato nella spiegazione, ma con un disegno risulta più facile, un consiglio: giustifica sempre le tue affermazioni (per ipotesi… per quanto dimostrato… per il teorema… ecc…)

Facci sapere sa hai bisogno di altri chiarimenti.

WonderP.

P.S. era un bel po’ che non risolvevo problemi di questo genere e mi sono divertito (anche se sembra strano