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Dunque il mio problema e questo :
dimostra che in un quadrilatero inscrittibile in una circonferenza con angolo B congruente al doppio di A la $tgD=(2tgC)/(1-tg^2(A))$

dove A;B;C;D sono gli angoli del quadrilatero
Avevo pensato di sfruttare il fatto che in un quadrilatero iscritto gli angoli opposti sono supplementari quindi:

$B+D=180°$
$A+C=180°$
$B=2A$

Da queste tre realzioni ricavo che $D=180°-2A$ => $tgD=-tg2A$ sostituendo queste nell'equazione di partenza ottengo : $-tg2A=(-2tgA)/(1-tg^2(A))$ C.V.D.
................................................. $C=180°-A$ => $tgC=-tgA$

A questo punto l'esercizio sarebbe risolto tuttavia ho dei dubbi su come ho accoppiato gli angoli, ho messo B con D e A con C in modo assolutamente casuale, se li scambio però l'uguaglianza non mi viene più..... il procedimento che ho applicato è corretto? Se mi viene è solo un caso ?

La tua soluzione è corretta, non hai messo gli angoli a caso perché sicuramente nel testo si parla del quadrilatero ABCD, quindi, nella figura, i vertici sono scritti nello stesso ordine in cui sono posti nel quadrilatero.

Grazie dell'illuminazione! gli angoli non sono a caso! non avevo pensato ai vertici ordinati del quadrilatero ABCD....

Prego.