come risolvereste questa equazione goniometrica?

$ 2cos^2(4x) + sen(8x) = 4 - 4sen^2(4x) $

pongo 4x = y

$ 2cos^2y + sen2y - 4 + sen^2y $

quindi sviluppo la duplicazione di sen2y

$ 2cos^2y + 2senycosy - 4 + 4sen^2y $

poi uso la prima relazione fondamentale $ 2cos^2y = 2(1-sen^2y) $

$ 2sen^2y + 2senycosy - 2 = 0 $

divido tutto per 2

$ sen^2y + senycosy - 1 = 0 $

utilizzo la prima relazione fondamentale $ sen^2y - 1 = -cos^2y $

alla fine ottengo

$ -cos^2y + senycosy = 0 $

è tutto giusto? devo sostituire y = 4x?

i passaggi mi sembrano corretti
a questo punto puoi raccogliere $cosy$ e poi eguagliare separatamente a zero i due fattori:

$cosy(-cosy+seny)=0 -> cosy=0 , seny-cosy=0$

sono entrambe equazioni elementari; le risolvi rispetto ad y e poi alla fine sostituisci $4x$