In genere quando trovi scritto $2k180$ - anche se io non l'ho mai visto, in genere vedo scritto l'equivalente in radianti $2k\pi$ - vuol dire che con quella scrittura caratterizzi tutte le possibili soluzioni. Anche quelle che si ripetono superato l'intervallo del periodo del coseno (o seno).
Non so se mi sono spiegato, meglio che faccio un esempio.
Quando è che $cos \alpha =1$? La risposta è (se non lo sai a forza di fare esercizi
basta disegnare la circonferenza goniometrica o altri metodi che ti hanno insegnato) per $\alpha=180°$. Però, questa risposta non è esatta - o meglio - è esatta nell'intervallo $[0,360°]$ (oppure $[0,2\pi]$ se usi i radianti invece che i gradi).
Allora ci si chiede, "se considero tutto $\RR$ qual'è la soluzione?". E la risposta è $\alpha =2k 180°$ con $k$ intero.
In questo modo, al variare di $k$ hai tutte le possibili soluzioni (infatti, con $k$ intero vuol dire $k=$ $... $ $-2 $ $-1 $ $0 $ $ 1 $ $2 $ $... $ e le soluzioni sono $\alpha = $ $...$ $-720°$ $-360°$ $0°$ $360°$ $720°$ $...$ e per tutti questi valori il coseno vale uno) perché il coseno ha un periodo di $360°$ cioè, detta alla buona se non hai ancora visto il "periodo", dopo 360 gradi si ripete. Quel $2k180°$ potresti vederlo meglio come $k360$ per rendere meglio l'idea in gradi. Quella lì è una scrittura da radianti.
Non so se si è capito, probabilmente no o almeno ne dubito. Sinceramente me lo auguro.
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@dissonance: quello che hai scritto l'ho visto all'ultima lezione di analisi complessa