Matematicamente.it

Inviato: **09/04/2011, 07:29**

Buon dì, vorrei sapere da voi se ho risolto in modo corretto la seguente espressione:

$arcsin(1/3)+arccos(1/3)+arctg(1/3)+arccotg(1/3)$

Il risultato da me ottenuto è $pi/2$

Grazie per l'aiuto :wink:

Inviato: **09/04/2011, 07:40**

Secondo me fa $\pi$. Puoi mostrare i conti?

Paola

Inviato: **09/04/2011, 14:35**

Sicuramente ho sbagliato!

Non ho ben capito come deve essere calcolato arcsin. So che è la funzione inversa del seno ma non capisco da dove devo iniziare.

Saresti cosi gentile da spiegarmi come devo procedere?

Grazie mille.

Inviato: **09/04/2011, 14:47**

Guarda, questo esercizio è un inganno, non c'è assolutamente nulla da calcolare!
Ricorda che angoli complementari hanno seno e coseno "scambiati" e idem per tangente e cotangente. Fare un disegno sul cerchio goniometrico per credere.
Dunque la somma dei primi 2 dà $\pi/2$ e lo stesso la somma degli ultimi 2.

Paola

Inviato: **09/04/2011, 14:56**

La somma dei primi due come l'hai calcolata?

Inviato: **09/04/2011, 15:11**

Si dimostra che $arcsin(x)=pi/2-arccos(x)$, ovviamente $AA x in [-1,1]$.
Scrivo in spoiler una possibile dimostrazione:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Chiamato $alpha=pi/2-arccos(x)$, vogliamo dimostrare che $alpha=arcsin(x)$
si ha $cos(pi/2-alpha)=x$.
Sappiamo che $cos(pi/2-alpha)=sin(alpha)$ ( è una proprietà trigonometrica),
dunque l'uguaglianza di prima diventa:
$sin(alpha)=x=> alpha=arcsin(x)$
Che era ciò che volevamo dimostrare

Da questo si deduce che $AA x in [-1,1]$ si ha $arcsin(x)+arccos(x)=pi/2$

Inviato: **09/04/2011, 15:18**

Grazie Gi8 per la spiegazione!

Alla prossima!

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espressione goniometrica

espressione goniometrica