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Come si potrebbe dimostrare una cosa del genere?

$\sin x<=x<= tan x$ per $0<x<\pi/2$

Senza far uso delle derivate...c'è una dimostrazione geometrica?

Intuitivamente si capisce che sin x < x perchè è indubbio che l'arco di cerchio (che raffigura l'angolo in radianti) è strettamente maggiore della proiezione del punto sull'asse Y. Ma la seconda parte della disuguaglianza come si dimostra?

Secondo me si dimostra graficamente nello stesso modo del seno, basta disegnare la tangente.

Paola

E come faccio a disegnarla nel contesto del cerchio goniometrico? Ho visto in internet che è un segmento che congiunge tangenzialmente il punto P e l'asse delle ascisse. Ma come faccio a dimostrare che la lunghezza di quella linea è sin/cos?

Disegni la tangente alla circonferenza goniometrica nel punto (1,0).
Vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometria)

Paola

Grazie...la dimostrazione è chiarissima...solo una domanda...mettiamo che il raggio della circonferenza non sia 1, ma genericamente r. Facendo i conti (usando il teorema della similitudine dei triangoli) ho trovato che la tangente non è esattamente uguale a quel segmento, ma al rapporto fra quel segmento e il raggio...come è possibile? Ripeto brevemente la dimostrazione

Circonferenza di centro O e raggio r. P è l'intersezione tra la circonferenza e il secondo lato dell'angolo. Inoltre T è l'intersezione tra la tangente alla circonferenza per il punto P. X e Y sono le proiezioni di P sull'asse x e y rispettivamente.
Dobbiamo dimostrare che la tangente è uguale al segmento PT.

DIMOSTRAZIONE. I triangoli POX e OPT sono simili, perchè hanno i tre angoli ordinatamente congruenti, come si dimostra facilmente. Quindi abbiamo $(PX)/(PT)=r/(OT) =(OX)/r$. In questo modo ho che la tangente $(PX)/(OX)=(PT)/(OP) $dipenderebbe quindi dal raggio di quel cerchio! Com'è possibile?

La tangente come funzione trigonometrica viene definita sulla circonferenza unitaria (così come seno e coseno). Che senso ha tirare in ballo la circonferenza di raggio r?

Paola

Pura semplice pignoleria...infatti la tangente dovrebbe essere uguale a prescindere di R....

Pura semplice pignoleria...infatti la tangente dovrebbe essere uguale a prescindere di R....

Sì ma la FUNZIONE TANGENTE e UNA tangente ad una circonferenza sono concetti diversi.

Paola

quindi quella relazione vale SOLO per R=1?