Problema di trigonometria

Ciao a tutti, ho trovato un problema di trigonometria che mi ha creato non poche difficoltà. Vi allego il testo e la soluzione, che sebbene corretta trovo molto artificiosa. Avete dei consigli da darmi o soluzioni più immediate ed eleganti?

Un triangolo acutangolo MNP è inscritto in una circonferenza di raggio 2; la misura del lato MN è $ 2sqrt(3) $ e l'area della superfice è $ $ A_2+A_3=3+sqrt3-sqrt3 $ $. Determina gli angoli del triangolo

Allora la corda MN è notevole quindi: l'angolo alla circonferenza $ hat(P)=pi $.
L'area del triangolo avente come base MN è $ A_1=1/2*4*sin2pi/3=sqrt3 $.
Quindi $ A_2+A_3=3+sqrt3-sqrt3 $. Però $ A_2+A_3=1/2*r^2(sin2hatM+sin2hatN)=2(sin2hatM+sin2hatN) $ quindi $ sin2hatM+sin2hatN=3/2 $.
Usando le formule di prostaferesi: $ 2sin((2hatM+2hatN)/2)*cos((2hatM-2hatN)/2)=3/2 $, e sapendo che (tramite conti che per brevità tralascio M+N=120°) posso dire:
$ { ( sin(hatM+hatN)cos(hatM-hatN)=3/4 ),( hatM+hatN=2pi/3 ):} $.
$ cos(hatM-hatN)=sqrt3/2 $
$ hatM-hatN =pi/6 $ (prendo solo la sol. positiva per brevità)
$ { ( hatM-hatN=pi/6 ),( hatM+hatN=2/3pi ):} $ . A questo punto il si trovano le soluzioni.

Che dite troppo complesso?

Mi ci è voluto un po' per capire il testo: cosa sono $A_1, A_2,A_3$? Quando l'ho capito ho concluso che probabilmente il problema diceva solo che l'area del triangolo era $3+sqrt 3$ e che la si può calcolare direttamente con la formula
$A=1/2 PM*MN*sin \hat M$
Quindi, dopo aver notato che $\hat P=60^o$, ho posto $\hat M=x$, calcolato PM col teorema della corda e risolto l'equazione ottenuta. Non posto i miei calcoli perché c'è un errore di segno che non riesco ad individuare.

La tua soluzione è un po' complessa per quanto riguarda il modo in cui arrivi all'equazione finale; sarebbe stato più rapido porre anche $\hat N=y$, con il che $PM=4 sin y$ e quindi
${(1/2*2 sqrt 3*4sin y*sin x=3+sqrt 3),(x+y=120^o):}$
che è un sistema simmetrico e si può risolvere proprio col tuo metodo.

Sì, nella parte del testo ho scritto male le aree, chiedo venia. Comunque confrontandomi in classe ho visto che molti hanno messo a sistema l'area con teorema del coseno, sembra più facile all'inizio, però vengono dei calcoli brutti e ovviamente non si trovano direttamente gli angoli, come in questo caso.
Posto il testo corretto, nel caso interessasse a qualcuno:

Un triangolo acutangolo MNP è inscritto in una circonferenza di raggio 2; la misura del lato MN è 23√ e l'area della superfice è A=3+sqrt3. Determina gli angoli del triangolo

Scusa la domanda idiota, ma cosa intendi con teorema del coseno? Io riesco solo a pensare al teorema di Carnot (che evito il più possibile per la lunghezza dei suoi calcoli) o a quello dei coseni (che non vedo cosa c'entri). Ho trovato l'errore, quindi mando i miei calcoli, omettendo i passaggi intermedi.

$PM=2r sin(180^o-60^o-x)=...=2(sqrt 3 cos x+sin x)$

$1/2*2(sqrt 3 cos x+sin x)*2 sqrt 3 sin x=3+sqrt 3$. Semplifico per $sqrt 3$ e porto tutto a secondo membro

$0=-2 sqrt 3 sin x cos x-2sin^2x+(sqrt 3+1)(sin^2x+cos^2x)$. Divido per $cos^2x$ e ordino

$(sqrt 3-1)tg^2x-2sqrt 2 tg x+(sqrt 3+1)=0$

che ha come soluzioni $tg x=2+sqrt3=>x=75^o$ e $tgx=1=>x=45^o$. I due valori corrispondono a triangoli uguali, con M ed N scambiati fra loro.

Sì il teorema del coseno è quello di Carnot