Problema di trigonometria
Inviato: 13/03/2012, 19:29
Ciao a tutti, ho trovato un problema di trigonometria che mi ha creato non poche difficoltà. Vi allego il testo e la soluzione, che sebbene corretta trovo molto artificiosa. Avete dei consigli da darmi o soluzioni più immediate ed eleganti?
Allora la corda MN è notevole quindi: l'angolo alla circonferenza $ hat(P)=pi $.
L'area del triangolo avente come base MN è $ A_1=1/2*4*sin2pi/3=sqrt3 $.
Quindi $ A_2+A_3=3+sqrt3-sqrt3 $. Però $ A_2+A_3=1/2*r^2(sin2hatM+sin2hatN)=2(sin2hatM+sin2hatN) $ quindi $ sin2hatM+sin2hatN=3/2 $.
Usando le formule di prostaferesi: $ 2sin((2hatM+2hatN)/2)*cos((2hatM-2hatN)/2)=3/2 $, e sapendo che (tramite conti che per brevità tralascio M+N=120°) posso dire:
$ { ( sin(hatM+hatN)cos(hatM-hatN)=3/4 ),( hatM+hatN=2pi/3 ):} $.
$ cos(hatM-hatN)=sqrt3/2 $
$ hatM-hatN =pi/6 $ (prendo solo la sol. positiva per brevità)
$ { ( hatM-hatN=pi/6 ),( hatM+hatN=2/3pi ):} $ . A questo punto il si trovano le soluzioni.
Che dite troppo complesso?
Un triangolo acutangolo MNP è inscritto in una circonferenza di raggio 2; la misura del lato MN è $ 2sqrt(3) $ e l'area della superfice è $ $ A_2+A_3=3+sqrt3-sqrt3 $ $. Determina gli angoli del triangolo
Allora la corda MN è notevole quindi: l'angolo alla circonferenza $ hat(P)=pi $.
L'area del triangolo avente come base MN è $ A_1=1/2*4*sin2pi/3=sqrt3 $.
Quindi $ A_2+A_3=3+sqrt3-sqrt3 $. Però $ A_2+A_3=1/2*r^2(sin2hatM+sin2hatN)=2(sin2hatM+sin2hatN) $ quindi $ sin2hatM+sin2hatN=3/2 $.
Usando le formule di prostaferesi: $ 2sin((2hatM+2hatN)/2)*cos((2hatM-2hatN)/2)=3/2 $, e sapendo che (tramite conti che per brevità tralascio M+N=120°) posso dire:
$ { ( sin(hatM+hatN)cos(hatM-hatN)=3/4 ),( hatM+hatN=2pi/3 ):} $.
$ cos(hatM-hatN)=sqrt3/2 $
$ hatM-hatN =pi/6 $ (prendo solo la sol. positiva per brevità)
$ { ( hatM-hatN=pi/6 ),( hatM+hatN=2/3pi ):} $ . A questo punto il si trovano le soluzioni.
Che dite troppo complesso?