Equazione goniometrica

Salve.
Vorrei aiuto per la semplificazione di questa equazione goniometrica.
Facendola in due modi diversi mi da due risultati differenti, per cui è chiaro che c'è un errore che al momento non vedo.
L'equazione in questione è la seguente:
$ 1+tan x=(1-sin x)/(cos x)^2 $
Scrivendo la tangente come rapporto di seno e coseno e facendo il minimo comune multiplo al denominatore ottengo:
$ ((cos x)^2+sin xcos x)/(cos x)^2=(1-sin x)/(cos x)^2 $
da cui $ (cos x)^2+sin xcos x+sin x-1=0 $ e considerando la prima relazione fondamentale:
$ -(sin x)^2+sin x+cos xsin x=0 $
Per il resto tutto ok, riesco a risolverla.
Il problema è quello che succede se semplifico in quest'altro modo partendo dall'inizio:
$ 1+tan x=(1-sin x)/(cos x)^2 $
Osservo che il coseno al quadrato dalla prima relazione fondamentale è uguale a 1 meno il seno al quadrato.
$ 1+sin x/cos x=(1-sin x)/(1-(sin x)^2) $
Ma $ (1-(sin x)^2)=(1-sin x)(1+sin x) $
e allora numeratore e denominatore si semplificano e ottengo:
$ 1+sin x/cos x=1/(sin x+1) $
Facciamo ora il m.c.m e otteniamo:
$ (cos x+sin x)/cos x-1/(1+sin x)=0 $
$ (cos x+sin xcos x+sin x+(sin x)^2-cos x)/(cos x(1+sin x))=0 $
e allora considerando il numeratore che deve essere 0 ottengo
$ (sin x)^2+sin x+cos xsin x=0 $
che differisce da quella trovata in precedenza per il segno positivo del seno al quadrato.
Come lo spiegate? Ammesso naturalmente di aver fatto tutti i controlli e le discussioni sugli eventuali zeri al denominatore e a patto di aver escluso tali valori, perché mi da questa differenza? Dove è l'errore che al momento non riesco a trovare?
Grazie mille

Non mi sembra che ci siano errori; in tutti e due i modi si ottengono le stesse soluzioni: quelle che corrispondono a $sinx=0$ e quindi $x=kpi$.

Si ok, se metto in evidenza il seno ottengo le soluzioni che dici tu per sinx=0, ma poi ti rimane anche un'equazione lineare in seno e coseno e quella da soluzioni diverse. Quindi non può essere, c'è per forza qualcosa che non torna! Giusto?

Si ok, se metto in evidenza il seno ottengo le soluzioni che dici tu per sinx=0, ma poi ti rimane anche un'equazione lineare in seno e coseno e quella da soluzioni diverse. Quindi non può essere, c'è per forza qualcosa che non torna! Giusto?

No. Le uniche soluzioni sono $x=kpi$. In tutti e due i casi le soluzioni corrispondenti alle equazioni lineari in seno e coseno non sono accettabili, perché sono degli zeri del denominatore.

BRAVISSIMA CHIARAOTTA

Ma certooooooooooo ecco cosa non consideravo è vero, devo escluderlo per via del denominatore..meno male che ho anche fatto la discussione..il problema è che il libro oltre che che $ x=kpi $ dava anche per soluzione $ x=pi/2+kpi $ quindi io avendola trovata in una delle due ho dato per scontato fosse giusta e trovando la soluzione opposta nell'altro caso non mi spiegavo il perché visto che entrambi i calcoli erano corretti. Grazie mille per l'aiuto!!

Nell'equazione di partenza compare $tan x$, che non è definita per $x=pi/2+kpi$. Quindi non ci possono essere quelle soluzioni.