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Risolvendo la seguente disequazione $ Tg^2(x) + (1-sqrt(3))Tgx- sqrt(3)>= 0 $ con la sostituzione $tgx= t $ mi trovo un discriminante negativo. E' corretta?

Hai effettuato in maniera errata il discriminante.
PS somma solo i radicali e scoprirai che si tratta di un prodotto notevole.

Rifacendo i calcoli mi trovo $ -1+sqrt(3) +- sqrt((1-sqrt(3))^2 - 4sqrt(3 )) $ e quindì sotto la radice mi ritrovo con la seguente quantità: $ sqrt(4-2sqrt(3)- 4sqrt(3)) $, ancora negativa. Non ho colto il prodotto notevole.

Veramente verrebbe: \(\displaystyle t_{1,2}=\frac{-{1}+\sqrt{{{3}}}\pm\sqrt{{{{\left({1}-\sqrt{{{3}}}\right)}}^{{2}}+{4}\sqrt{{{3}}}}}}{2} \). Svolgendo i calcoli, sotto la radice viene \(\displaystyle (1+\sqrt 3)^2 \)

Grazie.