disequazioni trigonometrica

tg^2(x-\(\displaystyle \pi \)/2)+(\(\displaystyle \sqrt{3} \)-1ctg(-x)-\(\displaystyle \sqrt{3} \)<0 ho pravoto a usare le formule di addizione sottrazione .. però nn mi viene . come si fa?

Se la disequazione è
$tan^2(x-pi/2)+(sqrt{3}-1)cot(-x)-sqrt{3}<0$,
allora si può semplificare.
Poiché
$tan(x-pi/2)=-tan(pi/2-x)=-cot(x)->tan^2(x-pi/2)=(-cot(x))^2=cot^2(x)$
e
$cot(-x)=-cot(x)$,
la disequazione può essere riscritta come
$cot^2(x)-(sqrt{3}-1)cot(x)-sqrt{3}<0$
che è una disequazione di 2° grado in $cot(x)$.

Se si calcola
$Delta = (sqrt{3}-1)^2-4(-sqrt(3))=3-2sqrt(3)+1+4sqrt(3)=3+2sqrt(3)+1=(sqrt(3)+1)^2$
e le radici dell'equazione associata
$cot(x)=(sqrt(3)-1+-(sqrt(3)+1))/2$,
da cui
$cot_1(x)=-1$
$cot_2(x)=sqrt(3)$,
si trova che
$-1<cot(x)<sqrt(3)$.

Le soluzioni quindi sono
$pi/6+ k pi<x<3/4 pi+kpi$.

Edit: nelle soluzioni ho corretto $pi/3$ in $pi/6$: è $cot(pi/6)=sqrt(3)$ .....

Ultima modifica di chiaraotta il 26/06/2012, 14:41, modificato 1 volta in totale.

grazie davvero di cuore ...