Un Gioco matematico

[P_1_6]

Tabella 1
F=(n,a)=3*(a)*(a+n)*10+a+n=(N-1)/30-a
31 62 93 124 .....
122 183 244 305 .....
273 364 455 546 .....
.....................

G=F+a=(n,a)=3*(a)*(a+n)*10+2*a+n=(N-1)/30
Tabella 2
32 63 94 125 ......
124 185 246 307 ......

276 367 458 549 ......
488 609 730 851 ......
760 911 1062 1213 ......
1092 1273 1454 1635 ......
............................

N=30*G+1=(30*a+1)^2+30*n*(30*a+1)
Tabella 3
961 1861 2821 3751 .....
3721 5551 7381 9211 .....
8191 11011 13741 16471 .....
14641 18271 21901 25531 .....
22801 27331 31861 36391 .....
32761 38191 43621 49051 .....
..............................

Tabella 4
Tante sono le relazioni con questa tabella (ha tante analogie con la tabella 2)
276 369 456 546 .....
447 546 636 726 .....
645 726 816 906 .....
816 906 996 1086 .....
996 1086 1176 1266 .....
.............................

una di esse ad esempio è:

H=[N-[(x-30)^2+30*n*(x-30)]]/10 dove x=30*a+1

Dato un qualsiasi valore di N risalire ad (n,a) nel modo più veloce possibile?

[P_1_6]

Per chi non lo sappia:
tale gioco risolve la fattorizzazione di tutti i numeri , una versione identica la si può ricavare con , al posto del 30 , altri numeri (versione semplificata con il numero 6)

Aiuto teorico:
Se sottraete la tabella 4 (H) dalla tabella 2 (G) partendo dopo il rigo vuoto ovvero da 276-276=0

Tabella 5
0 2 2 3

31 63 94 125
115 185 246 307
276 367 458 549

Come potete osservare è identica alla tabella 2 senza la prima riga

Aiuto numerico:
Ora supponiamo che

N=27331
(G=27331-1)/30

911+(38191-27331)/30-(27331-18271)/10=367
367+(18271-11011)/30-(11011-5551)/10=63

e ci scriviamo a ed n in funzione della posizione del 906 della prima colonna nella tabella 4

Dovrebbe funzionare.

[P_1_6]

Ciò che scrivo è tutto da dimostrare:

Sia $N=x^2+30*n*x$

queste le formule per $[(N-1)/30]$ dispari

${225*[(N-1)/30]^2+N-225-{31^2+30*31*(2*A-1)}}/1800={A-1}*A/2$

${225*n^2+N-225-{31^2+30*31*(2*B-1)}}/1800={B-1}*B/2$

$B$ è un divisore di $A$

Esempio:

$N=617251$

${225*[(617251-1)/30]^2+617251-225-{31^2+30*31*(2*A-1)}}/1800={A-1}*A/2$

segue $A=10287=3^4*127=27*381$

${225*n^2+617251-225-{31^2+30*31*(2*27-1)}}/1800={27-1}*27/2$

segue $n=17$

$617251=x^2+30*17*x$

segue $x=571$