Dunque, provo a dimostrare ...
Prendiamo $a$ naturale con questa rappresentazione decimale $a_0a_1...a_n$ e sia $A=a_0+a_1+...+a_n$ la somma delle sue cifre.
Abbiamo questa uguaglianza $a=a_0*10^0+a_1*10^1+...+a_n*10^n$. Possiamo notare che (dopo aver eseguito i prodotti e cioe avendo solo una somma algebrica) la somma delle cifre di tutti gli addendi di questa espressione rimane uguale a $A$, perché la moltiplicazione per una potenza di dieci introduce nella rappresentazione solo degli zeri che non hanno effetto sul risultato dell'addizione.
Prendiamo $b$ naturale con questa rappresentazione decimale $b_0b_1...b_n$ e sia $B=b_0+b_1+...+b_n$ la somma delle sue cifre (Per semplicità ho posto $b$ con lo stesso numero di cifre di $a$ ma non è importante ...).
Sommo $a$ con $b$ e cioè $(a_0*10^0+a_1*10^1+...+a_n*10^n)+(b_0*10^0+b_1*10^1+...+b_n*10^n)$. Si può notare che la somma delle cifre del primo addendo (prima parentesi) è uguale ad $A$ e la somma della seconda è pari a $B$ (per quanto detto precedentemente).
Riscriviamo la somma dei nostri due numeri così $(a_0+b_0)*10^0+(a_1+b_1)*10^1+...+(a_n+b_n)*10^n$; lo stesso possiamo fare con $A+B=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)+...+(a_n+b_n)$. Continua a rimanere valido il fatto che la somma $A+B$ è uguale alla somma delle cifre di $a$ e $b$.
Le $n+1$ somme $(a_k+b_k)*10^k$ produrranno un risultato della forma $c_k*10^k+r_k*10^(k+1)$ dove $r_k$ sarà pari a $0$ o a $1$.
Allo stesso modo le somme $(a_k+b_k)$ produrranno un risultato della forma $c_k*10^0+r_k*10^1$.
Quindi il risultato finale di $c=a+b$ sarà $c_0*10^0+(c_1+r_0)*10^1+...+(c_n+r_(n-1))*10^n+r_n*10^(n+1)$ mentre $C=A+B=c_0+c_1+r_0*10^1+...+c_n+r_(n-1)*10^1+r_n*10^1$. Ma per quanto detto all'inizio la somma delle cifre di $c$ è pari alla somma delle cifre di $C$.
A dir la verità non sarebbe proprio il risultato finale perché i riporti potrebbero continuare in caso di $9$ ma dato che avverrebbe lo stesso nell'altra somma, il tutto rimane valido.
Si può ripetere il tutto con il prodotto ma sarebbe decisamente più lungo; basta applicare la proprietà distributiva e ci si arriva ...
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Sperando di non aver fatto troppa confusione ...
Cordialmente, Alex