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Un problema un po' diverso dal solito, ma molto bello.

Sia $A$ un insieme di elementi sul quale è definita un'operazione binaria, ovvero un operazione che associa ad ogni coppia di elementi $a,b\in A$ uno e un solo elemento di $A$, che indichiamo con $ab$.
Supponiamo che:

1) Per ogni $a,b\in A$ esiste $c\in A$ tale che per ogni $y\in A$ $cy=a(by)$.

2) Esiste $m\in A$ tale che per ogni $y\in A$ $my=yy$.

Dimostrare che per ogni $a\in A$ esiste $y\in A$ tale che $ay=y$.

Nota: attenzione alle parentesi, nessuno ha detto che l'operazione sia associativa.

fields ha scritto:Un problema un po' diverso dal solito, ma molto bello.

Sia $A$ un insieme di elementi sul quale è definita un'operazione binaria, ovvero un operazione che associa ad ogni coppia di elementi $a,b\in A$ uno e un solo elemento di $A$, che indichiamo con $ab$.
Supponiamo che:

1) Per ogni $a,b\in A$ esiste $c\in A$ tale che per ogni $y\in A$ $cy=a(by)$.

2) Esiste $m\in A$ tale che per ogni $y\in A$ $my=yy$.

Dimostrare che per ogni $a\in A$ esiste $y\in A$ tale che $ay=y$.

Nota: attenzione alle parentesi, nessuno ha detto che l'operazione sia associativa.

Nella uno poniamo $b=m$ quindi otteniamo

Per ogni $a in A$ esiste $c in A$ tale che per ogni $y in A$ $cy=a(my)=a(yy)$

dove per l'ultima uguaglianza abbiamo usato la proprietà speciale di $m$. Poniamo $y=c$ e abbiamo

Per ogni $a in A$ esiste $c in A$ tale che $a(c c)=c c$ e essendo che $cc in A$ segue

Per ogni $a in A$ esiste $d in A$ tale che $ad=d$

Ciao, spero di non aver commesso errori

Esatto, carlo Punto fisso! Il problema non è così banale come sembra. Anzi, è molto interessante, poiché una simile costruzione viene utilizzata in una moltitudine di teoremi di punto fisso, in logica, teoria degli insiemi e informatica teorica.

fields ha scritto:Esatto, carlo Punto fisso! Il problema non è così banale come sembra. Anzi, è molto interessante, poiché una simile costruzione viene utilizzata in una moltitudine di teoremi di punto fisso, in logica, teoria degli insiemi e informatica teorica.

Il teorema del punto fisso ha una grande importanza teorica e viene usato in molti campi, io non lo conosco bene, ne il teorema ne le sue implicazioni...lo usai solo una volta per fissare una mensola.

Adesso però mi hai incuriosito, hai qualche link da consigliarmi che tratti bene l'argomento? (insomma non un sito trovato in 3 secondo con Google )

Ciao Ciao, magari se riesco invento qualche problema analogo a quello che hai proposto...

Carlo23 ha scritto: ...lo usai solo una volta per fissare una mensola.

...OPS!
Conosco pochissimo questo teorema e al momento
non so proprio immaginare come Carlo23 l'abbia utilizzato
in questo caso, come gli abbia permesso di migliorare il
risultato...

Attendo anch'io eventuali link o segnalazioni.

Intanto, un saluto a tutti!

carlo23 ha scritto:Il teorema del punto fisso ha una grande importanza teorica e viene usato in molti campi, io non lo conosco bene, ne il teorema ne le sue implicazioni...lo usai solo una volta per fissare una mensola.

Adesso però mi hai incuriosito, hai qualche link da consigliarmi che tratti bene l'argomento? (insomma non un sito trovato in 3 secondo con Google )

Siti internet che trattino questo genere di argomenti, non ne conosco, probabilmente ci sono, ma la mia conoscenza viene tutta dalla lettura di alcuni libri. Comunque, si può dire che la tecnica usata nel problema che ho postato si chiama diagonalizzazione, e permette di ottenere punti fissi in gran quantità. Viene usato in logica per ottenere l'autoriferimento, in teoria della calcolabilità per dimostrare l'esistenza di funzioni non calcolabili e per dimostrare che ogni programma ha un punto fisso, in teoria degli insiemi per mostrare che i numeri reali non sono numerabili, in teoria degli automi per produrre automi auto-replicanti!

In ogni caso esistono molti problemi carini come quello sopra proposto, semplici ma a volte molto ingegnosi, che esemplificano i concetti che vi ho accennato. Ve ne posterò presto un altro!