Tris

[WonderP]

Faccio una partita tris (o Tic Tac Toe) contro un avversario sprovveduto, cioè con poca tattica. L'unica che applica è quella di mettere il suo segno dove ce ne sono due in fila dell'avversario, altrimenti lo mette a caso. Io che gioco coscienziosamente, quante possibilità ho di vincere?

[Valerio Capraro]

se cominci te hai una tattica "non perdente", ovvero, se metti la tua prima croce in uno degli angoli non puoi perdere, e pareggi solo se l'avversario mette la sua prima pallina al centro. poichè la prima mossa dell'avversario è casuale, la possibilità che metta la pallina al centro è 1/8, ne consegue che tu hai una probabilità di 7/8 = 87,5% di vincere.
se comincia lui, al momento non so rispondere, mi prendo un po per rifletterci.
fammi sapere se la mia soluzione parziale è esatta.
ciao, ubermensch

[WonderP]

Per ora comincio io, poi vedremo di estendere il problema. La tua soluzione non è del tutto corretta, infatti se l'avversario mette il suo segno al centro posso ancora vincere, ma sei sulla strada giusta.

WonderP.

[MaMo]

In effetti il quesito è complicato dal gran numero di possibilità offerte dall'albero del gioco (una parte di esso si può trovare sul libro "Di duelli, scacchi e dilemmi" alle pagine 46 e 47).
Se comincio io con la croce in un angolo e lo "sprovveduto" mette la pallina al centro ho ancora 1/3 di probabilità di vincere se inserisco la croce nell'angolo opposto alla prima.
La mia probabilità totale di vittoria, in questo caso, diventa:
7/8 + (1/8)*(1/3) = 11/12 = 91.6666.

[WonderP]

Giusto, e mi sa che lunedì sera faccio un salto in libreria<img src=icon_smile_big.gif border=0 align=middle>.

WonderP.

[Valerio Capraro]

forse ho trovato la soluzione, ma non sono capace di svilupparla matematicamente: ancora devo studiare calcolo delle probabilità!
siamo nel caso in cui io abbia scelto un angolo e l'altro abbia scelto il centro. a questo punto se io scelgo un altro angolo, che non sia quello opposto a quello precedentemente scelto, il mio avversario sarà costretto a tappare il buco, e si verifica facilmente che va a finire in pareggio; la stessa cosa avviene se scelgo una casella adiacente a quella che ho già scelto.
supponendo che abbia io scelto la casella in alto a sinistra, rimangono i seguenti casi:
1) scelgo la casella centrale della riga di fondo
2) scelgo la casella all'angolo opposto, ovvero in fondo a destra
3) scelgo la casella centrale della colonna a destra
in tutti e tre i casi potrei vincere, li analizzo separatemente:
1) ho solo due possibilità su 6 di vincere, che si hanno qualora il mio avversario scegliesse le due caselle della riga superiore rimaste libere
2) ho due possibiltà su 6 di vincere, che corrispondono ai casi in cui l'avversario sceglie una delle due caselle all'angolo ancora libere.
a questo punto, ammesso che il mio ragionamento sia giusto, lascio a te l'onere di svilupparlo matematicamente.
intuitivamente posso dire questo:
nell'1/8 di possibilità che rimangono ho 1/3 di vittoria, qualunque sia la tattica intelligente che uso, quindi ho 1/24 di possibilità di vittoria, se riferito al gioco. in totale ho quindi 7/8 + 1/24 = 91,6666...% di possibilità di vittoria.
ti ricordo che non conosco il calocolo delle probabilità, quindi s eho detto una marea di fesserie, non farci troppo caso!
ciao, ubermensch
3) è esattamente uguale al primo.

[WonderP]

Complimenti, bel ragionamento ma soprattutto corretto, anche più di quello che avevo pensato io (simile a quello di MaMo).

WonderP.

[andomito]

La soluzione trovata funziona se l'avversario, oltre a parare quando vede due miei segni allineati, ha anche la scaltrezza di concludere il tris quando ne ha la possibilità.
Dal testo del quesito si potrebbe invece supporre che anche con la vittoria a portata di mano giochi a caso, e se è così e lo so, posso adattare conseguentemente la mia strategia, scegliendo (in alcuni casi già contati come "patta") di rischiare una vittoria al 50% contro una sconfitta al 50%.
In particolare: inizio (ovviamente) con croce in alto a sinistra, risponde (fortunello, probabilità 1/8) con pallino al centro, proseguo (ovviamente) con croce in basso a destra, risponde (fortunello, probabilità 2/3) con pallino al centro a destra. A "gioco corretto" ciò porta ad una patta (rispondo croce al centro a sinistra... e così via per mosse forzate) in 1/12 dei casi, ma potrei forzare con croce in basso a sinistra (?!). A questo punto il mio avversario ha due minacce di tris da parare, una vincendo, una perdendo. Se la scelta tra di esse è casuale ed il mio scopo è solo vincere posso optare per tale strategia (perdente con un avversario scaltro) portando a 0,958333 le mie probabilità di vittoria (a fronte del fatto che nei casi residui, di probabilità 1/24, invece di pattare perdo).

se comincia lui, al momento non so rispondere, mi prendo un po per rifletterci.
fammi sapere se la mia soluzione parziale è esatta.
ciao, ubermensch

E se inizia l'altro? Se oltre a parare le minacce è in grado di chiudere la vittoria appena ne ha la possibilità, ed io gioco "in difesa", senza sapere della sua strategia generalmente casuale o comunque per evitare la sconfitta, l'esito è quasi sempre una patta.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Lui cerchio all'angolo (probabilità 4/9), io (forzata) croce al centro, posso vincere solo se lui piazza il cerchio su un lato lontano dall'angolo (probabilità 2/7) e alla mia successiva croce opposta alla sua piazza il cerchio opposto a quello sul lato (1/5). => probabilità vittoria 2.54%
Lui cerchio nel centro (probabilità 1/9), io (forzata) croce in un angolo. Posso vincere solo se lui piazza il cerchio accanto alla mia croce (probabilità 2/7) e alla mia risposta forzata che evita il suo tris risponde mettendo il cerchio nell'angolo accanto all'altro cerchio (probabilità 1/5). => probabilità vittoria 0,635%
Lui cerchio al centro di un lato (probabilità 4/9), io ho 4 possibilità:
1- croce al centro. Se mette il cerchio al centro di un lato attiguo (probabilità 2/7), io metto la croce al centro del lato seguente proseguendo (in senso orario o antiorario). Se lui mette il cerchio al centro dell'ultimo lato (probabilità 1/5) vinco piazzandola nell'angolo => probabilità 2,54 %
2 - croce nell'angolo contiguo. Se mette il cerchio all'altro angolo contiguo (probabilità 1/7) vinco mettendola nell'angolo opposto. Se la mette al centro del lato opposto a quello alla croce (probabilità 1/7) vinco mettendolo nell'angolo del lato della croce. Se la mette al centro (probabilità 1/7) sono forzato a impedire il tris, ma se ora lui piazza il cerchio nell'angolo accanto al primo (probabilità 1/5) vinco. Se la mette al centro del lato opposto (probabilità 1/7) vinco di certo. Se la mette al centro del lato accanto alla croce (probabilità 1/7) posso metterla al centro di un altro lato, e se lui la piazza nell'angolino inutile (probabilità 1/5) vinco mettendola al centro Se la mette in un angolo opposto al cerchio (probabilità 2/7) sono forzato a cercare la patta. Sommando ho una probabilità del 21,59%
3 - croce opposta al cerchio. Se mette il cerchio al centro (probabilità 1/7) e dopo la mia risposta di croce in un angolo accanto al primo cerchio o su un lato, mette il cerchio opposto alla mia mossa (probabilità 1/5) vinco. Se mette il cerchio nell'angolo vicino al primo (probabilità 2/7) e alla mia risposta forzata mette il cerchio sul lato accanto agli altri due (probabilità 1/5) vinco. Se mette il cerchio su un lato (probabilità 2/7) , sono forzato a metterlo nell'angolo tra i due cerchi, e posso vincere solo se lui mette il cerchio nell'angolo lontano dalle x (probabilità 1/5). Se la mette in un angolo accanto alla croce (probabilità 2/7) sono forzato a metterlo nell'angolo corrispondente, e vinco solo se lui le mette al centro di un lato (2/5). Sommando ho una probabilità del 11,43%
Quarta (croce al centro di un lato contiguo) e quinta possibilità (angolo opposto) sono perdenti a gioco corretto, quindi sono scartate.
In definitiva, se inizia mettendola al centro di un lato, converrà la strategia 2.

La probabilità di vittoria totale sarà quindi (21.59+0.635+2.54) circa il 24,8% quando inizia lui a giocare

Il tutto, ovviamente, con beneficio di verifica.

Sapendo della sua strategia, però, posso scegliere di prendermi dei rischi, adottando strategie perdenti contro un avversario scaltro, ma potenzialmente vincenti contro l'avversario randomico, aumentando le probabilità di vittoria (ma anche quelle di sconfitta, che altrimenti sono zero)

[andomito]

Facendo un po' di conti, quando inizia l'avversario posso sperare in una percentuale di vittorie superiore al 50% (51.27%), se accetto in più di metà dei casi rimanenti la sconfitta (invece di cercare una sicura patta).
Evito di sciorinare la casistica perché mi pare noiosa.
Dunque, a integrazione della domanda iniziale (oltre alla precisazione di chi inizia) sarebbe il caso di specificare se devo cercare la vittoria a tutti i costi (assumendo rischi di perdere) o no (come noto giocando regolare a tris non si può perdere )