Tommy e il porcellino

[axpgn]

Un giorno Tommy, il figlio del fattore, rubò il porcellino dello zio Henry.
Quando, nello stesso momento, i due iniziarono a correre, il ragazzo si trovava $250\ m$ a Sud dell'animale: il maialino scappo verso Est mentre la corsa di Tommy puntava sempre, in ogni istante, in direzione del maialino.
Assumendo che corressero a velocità costante e che la velocità del ragazzo fosse pari ai $4/3$ di quella dell'animale, quanto spazio percorse il porcellino prima di essere catturato?


Cordialmente, Alex

[nino_]

Un amico ha fatto un programmino.

Lo spazio che percorre il porcellino prima di essere catturato è 428,571 metri

[axpgn]

Naaaaa .... così non vale ... ... non gioco più ...

Tornando seri ( ) esiste un metodo decisamente più semplice per arrivare alla soluzione, quale ?

Ah, per essere precisi precisi la soluzione è $3000/7$ ...

Cordialmente, Alex

[dan95]

Semplice quanto? Servono integrali?

[axpgn]

No, semplice semplice ...

[nino_]

Ho trovato la formula (ma non ho capito perché è valida... )

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Posto:

$ VT $ = velocità di Tommy
$ VP $ = velocità del porcellino
$ D $ = distanza iniziale

il porcellino verrà raggiunto dopo aver percorso:

$(D * VT * VP )/ (VT^2 - VP^2)$

Nel caso del quiz:
$ (250*4*3)/(16-9) = 3000/7 $

Ciao
Nino

[Erasmus_First]

No, semplice semplice ...

|?!?
A me non risulta affatto semplice!
Anzi: a me pare che occorre trovare una curva come soluzione y = f(x) di una equazione differenziale piuttosto complicata che, suppongo, si potrebbe risolvere con l'uso delle Laplace trasformate (ma non certo con una quantità esigua di calcoli).
Oh: potrebbe anche darsi che alla fine l'espressione analitica della funzione cercata risulti semplice e che il rapporto tra la distanza percorsa dal porcellino e la distanza iniziale tra porcellino e ragazzo sia proprio 12/7.
Ma ... per ora resto scettico.
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E' invece certo che il programmino che calcola la traiettoria punto per punto è semplicessimo ...
Ma è il numero di operazioni da fare (come quando si fa un integrale per via numerica) che non è piccolo se si vuole una buona approssimazione.

[axpgn]

Ciao nino ,
mi hai fatto fare un po' di calcoli ma ho visto che la tua formula coincide col mio procedimento (che riporto in spoiler); a voler essere pignoli nella tua occorre conoscere le velocità (lo so, lo so, essendo le velocità ignote e quindi qualsiasi è sufficiente appunto metterne due qualunque, basta che rispettino i vincoli: l'ho scritto solo per fare cagnara ... )

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per trovare lo spazio percorso dal porcellino prima si suppone che corrano entrambi nella stessa direzione e nello stesso verso e si calcola lo spazio percorso dal porcellino prima di esser catturato poi si suppone che corrano entrambi sempre nella stessa direzione ma l'un contro l'altro e di nuovo si calcola lo spazio percorso dal porcellino prima della cattura: la media delle due è la soluzione.

La traiettoria di Tommy è una cosiddetta "curva di inseguimento" (detta anche curva del cane o di caccia, per ovvi motivi ... ) e dovrebbe essere una variante della "trattrice": se qualcuno mi spiega come si passa dall'equazione alla formula ... ben venga ...

... Oh: potrebbe anche darsi che alla fine l'espressione analitica della funzione cercata risulti semplice ...

Lo davo per scontato, siamo pur sempre nella stanza dei giochi e non pretendo la dimostrazione del teorema di Pitagora ogni volta che viene usato ...
Se poi qualcuno ci fa sopra una relazione ... beh, sono certamente contento ...

Per quanto riguarda invece l'uso di strumenti elettronici, per chi volesse, anche Excel (senza necessità di programmazione) è sufficiente per una simulazione che porti ad una buona approssimazione, senza una grande sforzo ...

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

Ciao nino ,
mi hai fatto fare un po' di calcoli ma ho visto che la tua formula coincide col mio procedimento

Mica tanti i calcoli!
E la velocità non serve. Serve solo sapere i rapporto tra le velocità (che, a parità di tempo, è lo stesso rapporto tra le lunghezze rispettivamente percorse).

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Chiamo h la distanza iniziale tra Tommy ed il porcellino.
Penso che il porcellino fa p metri mentre Tommy ne fa q (ovviamente con q > p).
•Se Tommy insegue il porcellino (che ha un vantaggio h) e fa q metri fin che il porcellino ne fa p, fin che il porcellino fa il tratto x1 Tommy fa il tratto x1+h e quindi
$(x_1+h)/q = x_1/p$ da cui $x_1 = p/(q-p) h$.
• Se Tommy va incontro al porcellino, mentre questi percorre il tratto x2 Tommy percorre il tratto h – x2 e quindi
$(h-x_2)/q = x_2/p$ da cui $x_2 = p/(q+p) h$.
Facciamo come dici la media [aritmetica] e chiamiamola X.
$X = p·h·(1/(q-p) + 1/(q + p))/2 = p·h·(2q/(q^2 - p^2))/2 = (p·q)/(q^2 - p^2)·h$.
Allora, per p=3 e q = 4 abbiamo
$X/h = (3·4)/(4^2 - 3^2) = 12/(16 - 9) = 12/7$. E quindi, per h = 250 m, viene X = 12·250/7 m = 3000/7 m$.

Resta però da capire perché iniziando il moto con direzioni a 90 gradi, la soluzione è la media aritmetica tra i valori che si troverebbero con direzioni a 0 gradi e a 180°. E non mi dire perché 90 è la media aritmetica tra 0 e 180, perché allora, con direzione a 45 gradi dovrei trovare la media pesata ei valori di prima con pesi rispettivi 3/4 e 1/4 .
_________



P.S.
Non c'è da dimostrare il teorema di Pitagora ogni volta che lo si adopera!
Ma una volta (una tantum !) SI'. Se no è lecito dubitare che vada sempre bene.
Per ora abbiamo un risultato facilissimo da calcolare ma ... piantato per aria dal punto di vista logico.

[axpgn]

Mica tanti i calcoli!

Se permetti lo decido io se i "miei" calcoli sono tanti o pochi ... ... e poi non devi prendere sempre tutto alla lettera (a maggior ragione in questa stanza): quella battuta stava solo a significare che essendo le nostre due versioni diverse, ho dovuto fare un paio di conti (più o meno come i tuoi) per verificarne la corrispondenza ... tutto qui ...

E la velocità non serve.

E io che ho detto?

Resta però da capire perché iniziando il moto con direzioni a 90 gradi, la soluzione è la media aritmetica tra i valori che si troverebbero con direzioni a 0 gradi e a 180°. E non mi dire perché 90 è la media aritmetica tra 0 e 180, perché allora, con direzione a 45 gradi dovrei trovare la media pesata ei valori di prima con pesi rispettivi 3/4 e 1/4 .

E infatti non l'ho detto ma l'ho chiesto ... ... posso buttare lì il fatto che tra quegli angoli i seni e i coseni son sempre gli stessi mentre tra l'angolo di $45°$ e gli altri no.

Non c'è da dimostrare il teorema di Pitagora ogni volta che lo si adopera!
Ma una volta (una tantum !) SI'.

Certamente, ma mica lo devi per forza fare tu ... è sufficiente che l'abbia fatto qualcuno, no? Anche secoli fa ...
Che ne so io dove tu hai dimostrato il teorema di Pitagora per la prima volta ... però mi fido di te ...

Cordialmente, Alex