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Se si considera la successione, che calcola i primi $k$-esimi numeri $n$ definiti cosi:

$n(i) = 2b^i + 1$, con $2 <= b <= 100$, $\forall b \in N$

Se $\forall i \in N$, incluso nell' intervallo: $0 <= i <= i_{max}$, e tutti gli $n(i)$ sono primi, allora:
$k = i_{max} + 1$ è l' ultimo primo della successione.

La richiesta è determinare la base associata ad $n(i_{max))$ quando $k$ è massimo.

Grazie @melia, per avermi fatto notare l'errore, ora "dovrebbe" essere corretto...

Più difficile da definire che da capire...e capisco che le definizioni in matematica sono basilari.

Ma per $b=40$ non ce n'è neanche uno!
$n(1)= 2*40^1+1=81=3^4$

Non so se ora è chiara la definizione...?
Ammesso che lo sia, oltre al sicuro successo di un calcolatore per trovare la risposta, sono curioso se esiste un metodo di procedere senza gli "innumerevoli" tentativi che qualsiasi persona potrebbe fare, se armata di pazienza.

Temo che non sia chiaro il quesito, quindi faccio un esempio:

$n(i) = 2b^i + 1$

per: $b = 2$
$n(0) = 2*2^0+1 = 3$, è sempre primo(per qualsiasi base con $i=0$).
$n(1) = 2*2^1+1 = 5$, è anch' esso primo, quindi proseguo...
$n(2) = 2*2^2+1 = 9$, non è primo, quindi mi fermo.

allora $i_max = 1$ e $k = i_max + 1 = 2$, ho trovato solo due numeri primi in successione..., quindi:
per quale base $2<=b<=100$ ottengo più numeri primi in successione, prima di interrompere il ciclo con un NON primo?

@melia ha scritto:Ma per $b=40$ non ce n'è neanche uno!
$n(1)= 2*40^1+1=81=3^4$

Quindi $40$ è sicuramente una base da escludere, infatti:
$n(0) = 2*40^0+0 = 2$
quindi $i_max = 1$, abbiamo un solo numero primo nella successione, ed esistono altre di basi per la quale è possibile trovare più primi in successione prima di interrompere il ciclo.
Difficile da esprimere matematicamente?