Felice Anno Nuovo

[nino_]

Il $2017$ sarà il terzo anno del ventunesimo secolo ad essere un numero primo.
E' inoltre il primo (numero primo del 21° secolo) del tipo $4n+1$ e quindi come tutti questi è esprimibile come somma di due quadrati:

$9^2 + 44^2 = 2017$

Il prossimo di questo tipo sarà il $2029 (=2^2 + 45^2)$, e poi il $2053$ (che senz'altro io non vedrò...)

La quarta potenza dei numeri primi $4n+1$ si può esprimere in due modi diversi come somma di due quadrati.
Qunto vale $A$ e $B$ di:

$A^2 + B^2 = 2017^4 $

Ciao
Nino

[orsoulx]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$ 1597464^2+3741535^2$
$2813761^2+2938320^2$

Anche $ 2017^3 $ si può esprimere come somma di almeno due coppie diverse di quadrati.
Ciao

[nino_]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$ 1597464^2+3741535^2$
$2813761^2+2938320^2$

Anche $ 2017^3 $ si può esprimere come somma di almeno due coppie diverse di quadrati.
Ciao

OK, , avevo trovato questo problemino su un forum, e il proponente diceva di non conoscere la soluzione.
Ciao

[Maryana67]

Anche $ 2017^3 $ si può esprimere come somma di almeno due coppie diverse di quadrati.
Ciao

... una soluzione banale è ovviamente $(44*2017)^2 + (9*2017)^2 = 2017^3$

di seguito baldanzoso e straconvinto di trovarne altre ho dedicato tutto il tempo appena necessario per trovare nient'altro che il nulla di niente (per le soluzioni intere ovviamente). Ora in effetti rimane il dubbio se esistano metodi algebrici diretti per calcolarle tutte (o almeno l'altra qui evocata). Su internet si trovano cose improbabili e comunque non applicabili al caso specifico.

Gezie in anticipo.
Claudio ... e auguri anche se un po' in ritardo

[orsoulx]

@Maryana67,
se $ x^2+y^2=n $, oltre all'identità $ [x(x^2+y^2)]^2+[y(x^2+y^2)]^2=n^3 $ che hai utilizzando esiste anche
$ [x(x^2-3y^2)]^2+[y(3x^2-y^2)]^2=n^3 $.
Ciao

[Maryana67]

@orsoulx


Grazie , alla seconda non ci sarei mai arrivato da solo ... però se posso permettermi, cercando di interpretare il tuo pensiero, quando affermi "almeno due" vuoi significare che dovrebbero esistere altre coppie di soluzioni intere (da informatico, non so se qualcuno si sia già preso la briga di scrivere due righe di codice per trovarle tutte) per le quali però allo stato attuale non avremmo, oltre a quelli da te menzionati, dei metodi algebrici diretti per calcolarle, corretto?

Grazie ancora.

Un caro saluto.

Claudio.

[orsoulx]

quando affermi "almeno due" vuoi significare che dovrebbero esistere altre coppie di soluzioni intere

Non dovrebbero, ma potrebbero esistere altre coppie. Ad esempio per $ 65^3 $ riesco a calcolare otto coppie di soluzioni, ma non ho la certezza che non ve ne siano altre.
Prego
Ciao

[spugna]

Hint:

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$2017=(44-9i)(44+9i)$