Cinquine al gioco della Tombola

[HarryGPotter]

Buongiorno,
da un po' di tempo sto provando a generare con qualche programmino al computer cartelle della Tombola cercando di minimizzare la probabilità che poi, durante il gioco, si verifichino vincite concorrenti (ovvero due giocatori che fanno, ad esempio, contemporaneamente terno, o quaterna, etc.).
Mi stavo ponendo quindi qualche domanda teorica in merito a come possono essere scelti i 5 numeri di ciascuna riga di una cartella per il gioco della tombola.
Lasciamo per un attimo perdere il vincolo sulla "differenza di decine" che devono avere i numeri per essere ben disposti sulla griglia di una cartella.

Le combinazioni semplici di 90 numeri, a 5 a 5, così come nel gioco del lotto, sono 90! / ( 5! * (90-5)!) = 44Milioni circa.
Queste però includono anche sequenze che differiscono tra loro per un solo numero, ovvero hanno tra loro quattro numeri uguali su 5.
All'altro opposto ci sono sequenze di 5 numeri tutti diversi tra loro, ma tali sequenze son solo 18, ovvero 90 / 5.

Mi chiedevo:
Quante sono le possibili sequenze di 5 numeri che sono diverse tra loro per almeno M numeri, con M > 1 e < 5?
Quante sono le possibili sequenze di 5 numeri su 90 che hanno almeno, ad esempio, 3 numeri diversi? O che hanno solo 1 numero uguale?

Qualcuno può aiutarmi a calcolare questi valori?
Grazie mille, e complimenti per l'interessantissimo forum
Harry

[axpgn]

Se te la senti di leggerlo, qui se ne parla abbondantemente ...

[HarryGPotter]

Grazie!
Ho letto il thread (ed anche provato a capire! ) ma onestamente non riesco a vedere il modo in cui può aiutarmi a rispondere al mio quesito...
Io vorrei sapere quanti elementi contiene l'insieme delle possibili cinquine al gioco della tombola (quindi cinquine di numeri da 1 a 90) che tra di loro hanno al massimo M numeri uguali, con M uguale ad 1, 2, 3 o 4.
Se M=0, ad esempio, so di poter avere nel mio insieme al massimo 18 cinquine, in quanto uso tutti e 90 i numeri disponendoli in 18 cinquine da 5.
Ma se M=1 ... al posto di 18 ... quante cinquine posso avere nel mio insieme?
e se M=2? ...

Qualunque indizio ulteriore è ben accetto, son dispostissimo ad arrovellarmici su...

Grazie grazie

[axpgn]

Appena passa di qui superpippone ti spiega tutto ... (si scherza, ovviamente non solo lui ... )
Io per adesso mi astengo, in attesa di capire meglio ... (perché se $M=0$ solo $18$ cinquine? ...)

[HarryGPotter]

Se M=0 vuol dire che le cinquine sono composte da tutti numeri diversi, ovvero non ne hanno nessuno in comune.
Ad esempio se una cinquina = {1,2,3,4,5}, allora {1, 6, 7, 8, 9} non è ammessa, perché hanno il numero {1} in comune.
Sarebbero bene invece {1,2,3,4,5} e {6,7,8,9,10} che non ne hanno in comune.
Quindi con 90 numeri posso solo fare 90/5=18 righe con numeri tutti distinti.

[axpgn]

Ho capito un pochino di più ... ma il quadro complessivo mi è ancora oscuro (ma non farci caso ... )
È vero che in quel modo $18$ cinquine diverse ti coprono tutti i novanta numeri ma di gruppi diversi da $18$ cinquine così fatte ne hai decinaia ...
Peraltro la questione non mi pare ancora ben posta ... per esempio, partendo dalle $18$ cinquine "base" se tu "piazzi" il numero $1$ in due di queste, uno degli altri $89$ viene "buttato fuori" e quindi devi piazzarlo in una "diciannovesima" che però devi riempire con altri quattro numeri e quindi di colpo ti ritrovi con $M=5$ e d'altra parte $M=1$ non è impossibile perché basta inserire il numero $1$ in quattro delle diciotto "base" e nella diciannovesima, completandola con i quattro numeri "espulsi" dal numero $1$
Come vedi devi chiarirti per bene quello che vuoi esattamente (magari tu lo sai, solo che io non ho capito niente ... )

Cordialmente, Alex

[HarryGPotter]

Io vorrei generare con un programmino il max numero di cartelle per giocare a tombola tale che le righe in gioco abbiano al più un solo numero in comune. Prima però vorrei sapere in via teorica quale è questo max numero di cartelle possibile... perché se è troppo basso dovrei accontentarmi di scegliere invece "il max numero di cartelle per giocare a tombola tale che le righe in gioco abbiano al più DUE numero in comune"... oppure ne abbiamo TRE...
Si mi sono ingrippato, lo so ...

[axpgn]

A mio parere mi sembra un lavoro abbastanza inutile e mi spiego meglio ...
Premetto che chiamerò "simboli" i $90$ "gettoni" della tombola e "numeri" quelli stampati sulle cartelle ...
Se tu "usi" $90$ numeri partendo da $90$ simboli puoi costruire $18$ cinquine senza nessuna ripetizione; se usi $180$ numeri sempre partendo da $90$ simboli puoi costruire $36$ cinquine dove hai almeno un numero che comparirà sicuramente in due di queste (in pratica avrai più numeri che compariranno più volte); se ne usi $500$ puoi costruire $100$ cinquine dove ci sarà almeno un numero che comparirà almeno in sei di queste (in pratica di più anche qui) e così via ...

Cordialmente, Alex

[superpippone]

Alex: ti ringrazio per la fiducia, ma stavolta mi chiamo fuori......

Non mi è ben chiaro, cosa vuole.
E poi, come ho già scritto dall'altra parte, una cinquina può escluderne automaticamente un'infinità di altre.

Per cui, rinuncio.

[HarryGPotter]

Mi scuso se sono stato poco chiaro, e vi ringrazio infinitamente per aver letto e preso in considerazione i miei quesiti scoordinati anche se non ci conosciamo.
Solo per non passare totalmente per matto, spendo qualche rigo in più qui cercando di spiegare meglio la mia esigenza ed il mio quesito. Intanto sto facendo andare un po’ di cicli for e se riesco a produrre, con la forza bruta, qualche primo esempio di quello che vorrei fare, ve lo posto, non fosse altro per provare ad essere ancora più chiaro.
Il tutto nasce da una esigenza di molti anni fa: quella di organizzare una tombolata di beneficenza in oratorio alla quale partecipava un centinaio di persone. Diciamo che nelle serate di maggior successo si arrivava a tenere in gioco 200-250 cartelle contemporaneamente.
Una cosa molto fastidiosa che capitava di frequente erano le vincite concorrenti, ovvero due o più giocatori che facevano ambo, o terno, o quaterna, etc. all’estrazione del medesimo numero. Ogni volta partiva la baraonda per assegnare l’unico premio disponibile ad uno dei diversi contendenti…
So bene che è matematicamente impossibile evitare che tali vincite concorrenti si verifichino. Sono eventi comunque e sempre possibili dal momento che se in gioco ci sono già solo 7 cartelle allora ci son numeri ripetuti su più cartelle. Ma, mi son chiesto, come mettere in gioco delle cartelle, “molto diverse tra loro”, in modo da ridurre il più possibile la probabilità che vi siano vincite concorrenti?
Cartelle “Molto diverse tra loro” significa cartelle con righe che hanno “pochi” numeri in comune.
Ad esempio, se su una riga di una cartella abbiamo i 5 numeri {1, 23, 34, 62, 77}, auspicabilmente vorrei che in nessuna altra cartella in gioco vi fosse una riga, ad esempio, contenente i numeri {1, 29, 34, 62, 77}. Sono entrambe righe valide, non sono uguali (differiscono per il numero in seconda posizione) ma… aumentano la probabilità che i due giocatori “vadano a segno” con gli stessi numeri.
Da questa esigenza dunque son poi partite le domande e le curiosità matematiche e “teoriche” che provavo a condividere con voi…
1) Quante cartelle posso generare e mettere in gioco le cui righe non abbiamo tra di loro più di 1 numero uguale? Quante se invece rilasso il vincolo e consento al massimo 2 numeri uguali? E così via…
2) Esiste un modo (un algoritmo) per generare uno di questi insieme di cartelle con un programma al computer?
Quanto di meglio son riuscito a fare finora consiste nel generare serie di 6 cartelle ciascuna impiegando tutti e 90 i numeri a disposizione in modo casuale e poi confrontare tra loro le cartelle e “scartare” le coppie di cartelle che presentano troppi numeri uguali, rimpiazzandole con nuove cartelle e ricominciando da capo i confronti… un metodo molto “forza bruta” e molto “poco deterministico” per i miei gusti…
Per quanto riguarda il primo punto, ho iniziato a rilassare il vincolo sulle decine che si ha per le righe delle cartelle del gioco della tombola e, per semplificare, ho iniziato a considerare le combinazioni di 90 numeri a 5 a 5. Anche in questo caso ho agito di forza bruta con un po’ di cicli for sul computer ed ho trovato, empiricamente:
- Potrei mettere in gioco 358 righe che hanno al più un numero in comune;
- Potrei mettere in gioco 8.861 righe che hanno al più due numeri in comune.
Ma… mi chiedevo: Esiste una formula, un metodo non empirico per calcolare questi due valori?
Ed esiste un metodo per generare queste disposizioni di 5 numeri che non sia il “generale tutte e scarta quelle che non ti piacciono”?
Continuo nelle mie elucubrazioni da mezzo matto e se raggiungo qualche nuovo risultato lo posto. Su internet non sono riuscito a trovare nulla, né tanto meno problemi analoghi in libri di testo...
Intanto… spero di esser stato un po’ meno confuso e di avervi spiegato il senso dei miei quesiti, che continuo a trovare sensati. Ve lo dovevo, almeno per la pazienza e la gentilezza che mi avete dimostrato.
Cordialmente,
Harry G.