Multiplo monotono

[orsoulx]

Sabato sera siamo tornati da Mario che, alla fine della cena, ci ha proposto un nuovo problema:
"Questa sera lasciamo un po' di spazio al caso. Voi scegliete una cifra qualsiasi (zero escluso); poi sorteggiamo un numero e se riuscite a trovare un multiplo di questo che, in base dieci, si scriva utilizzando solo ed unicamente la cifra che avete scelto, vincete voi, altrimenti vinco io. Ci giochiamo il vino che vi siete scolati.
Per il sorteggio facciamo generare un numero casuale di quattro cifre dal computer, che potrete usare anche per scovare il multiplo 'buono', se esiste. Come al solito potete decidere di giocare o no".

Secondo voi, conveniva giocare? E in questo caso, quale cifra costituiva la scelta migliore?

Ciao

[axpgn]

Un paio di pensierini ...

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In prima battuta mi verrebbe da dire una cifra pari perché se esce un numero pari le cifre dispari sono fregate ...
D'altra parte i repunit che sono primi sono poco frequenti, i primi tre sono $11, 1.111.111.111.111.111.111, 11.111.111.111.111.111.111.111$ e il successivo ha $317$ cifre ... quindi forse conviene giocarsi la cifra $1$ ...
Però se fosse proprio l'uno quella più probabile, dato che è dispari già perdiamo il $50%$ di possibilità quindi forse non conviene giocare affatto ...

Pensandoci meglio, ogni numero con la stessa cifra ripetuta è senz'altro un multiplo di un repunit ma avendo un fattore in più ha più possibilità di essere il multiplo cercato ... o, no?

Mah ... è sicuro che è tardi ...

Cordialmente, Alex

[Vincent46]

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La scelta migliore è la cifra $8$.
Infatti, chiamiamo $m$ il numero casuale di $4$ cifre. Distinguiamo vari casi.

Se $m$ non è multiplo né di $2$, né di $5$, allora esiste un multiplo di $m$ ottenuto concatenando cifre $1$ (quindi, a maggior ragione, ne esiste uno ottenuto concatenando cifre $8$). Infatti, per il teorema di Eulero, esiste un $n$ naturale per cui è soddisfatta l'equazione
$$10^n \equiv 1 \text{ (mod } 9m) \, .$$
I numeri di quattro cifre che soddisfano questa condizione sono $3700$.

Ne segue che, se $m$ è multiplo di $2$, ma non di $16$ né di $5$, allora esiste un suo multiplo ottenuto concatenando cifre $8$. I numeri di quattro cifre che soddisfano questa condizione sono $2700$.
In tutto, quindi, ci sono $6400$ numeri vincenti (salvo errori di calcolo!).

Resta da mostrare che nessun'altra cifra può far meglio. Sicuramente quelle dispari sono da scartare. Di quelle pari, se fossero vincenti le cifre $2$ o $4$, sicuramente sarebbero peggio della $8$. Con un ragionamento simile a quello sopra, si dovrebbe vedere che la cifra $6$ è in effetti peggiore della $8$.

[orsoulx]

@Vincent46
Hai sottostimato il numero di casi favorevoli; $ 6 $ e $ 2 $ sono equivalenti. Dopo che abbiamo giocato (perdendo ), Mario, offrendo dolci ed alcolici, ci ha mostrato il post da cui aveva tratto l'ispirazione e vi abbiamo trovato una dimostrazione simpatica che usa sostanzialmente solo il principio dei cassetti.

@Alex, certo, se non dormi mai, poi ti vengono pensieri interessanti, ma un po' disordinati. Impegnati, che questo non è difficile

Ciao

[axpgn]

Impegnati, che questo non è difficile

Figurati quelli difficili ...

Posso aggiungere questo ...

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Un intero composto da $n$ cifre tutte uguali a $c$ può essere scritto come $N=c*(10^(n+1)-1)/9$, perciò tutti i numeri che dividono la frazione dividono anche $N$; ora, tra tutte le cifre, l'$8$ è quello che può essere fattorizzato in più modi (tre) e quindi è quello che aggiunge più combinazioni alla fattorizzazione della frazione ... non so se mi spiego ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Ti garantisco che il risultato si può spiegare efficacemente in una terza media. Un suggerimento lo puoi già trovare nella risposta a Vincent.
Ciao

[Vincent46]

@Vincent46
Hai sottostimato il numero di casi favorevoli; $ 6 $ e $ 2 $ sono equivalenti. Dopo che abbiamo giocato (perdendo ), Mario, offrendo dolci ed alcolici, ci ha mostrato il post da cui aveva tratto l'ispirazione e vi abbiamo trovato una dimostrazione simpatica che usa sostanzialmente solo il principio dei cassetti.

@Alex, certo, se non dormi mai, poi ti vengono pensieri interessanti, ma un po' disordinati. Impegnati, che questo non è difficile

Ciao

è vero, $6$ e $2$ sono equivalenti! Infatti

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se un numero ha un multiplo che si scrive come concatenazione di cifre $6$, allora il suddetto numero non è multiplo di $4$ (nè di $5$, ovviamente). dunque, si conclude per il ragionamento contenuto nel mio messaggio precedente.

Forse mario vi potrebbe aver mostrato una dimostrazione simile del fatto che ogni numero coprimo con $10$ possiede un multiplo che è una repunit (carino e comodo, questo termine!):

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sia $n$ un numero coprimo con $10$ e consideriamo $m_0$, la piú piccola repunit maggiore o uguale di $n$. La divisione di $m_0$ per $n$ fornirà un certo resto. Ora prendiamo la repunit $m_1$, ottenuta da $m_0$ concatenandole un'altra cifra $1$. La divisione di $m_1$ per $n$ fornirà un certo resto. Iteriamo il procedimento e consideriamo il resto della divisione per $n$ di repunit sempre maggiori, eventualmente fermandoci quando otteniamo un resto pari a $0$. Questi resti non possono essere due a due uguali, altrimenti, mediante sottrazione delle repunit che forniscono resti uguali, si ottiene che

$$m_i * 10^h = nk$$
per qualche valore naturale di $i$, di $h$ e di $k$. Allora $n$, coprimo con $10$, divide $m_i$, cosa che abbiamo supposto falsa. Quindi, poichè i resti sono tutti diversi fra loro e minori di $n$, prima o poi nel nostro procedimento comparirà un resto pari a $0$!

[orsoulx]

@Vincent,
ma sei anche tu un avventore di Mario?
Nel merito della dimostrazione.

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sia n un numero coprimo con 10 e consideriamo m0, la piú piccola repunit divisibile per n. La divisione di m0 per n fornirà un certo resto. Ora prendiamo la repunit m1, ottenuta da m concatenandole un'altra cifra 1

Questa parte non mi è chiara:
se $ m_0 $ è divisibile per $ n $ il resto non può che essere $ 0 $;
$ m_1 $ ed $ m $ chi sono?

Comunque l'impianto dimostrativo è efficace, anche se, ma è questione di gusti personali, preferisco un percorso costruttivo ad una dimostrazione per assurdo. Si può tranquillamente iniziare da un $ 1 $, procedere nelle divisioni fino a quando non si ripete un resto già trovato, senza badare all'eventuale resto nullo che si incontrasse (in fondo è del tutto assimilabile alla ricerca del periodo di un quoziente di interi).

Nel calcolo delle probabilità hai, secondo me, eliminato più volte gli stessi numeri; ed è per questo che ottieni risultati più bassi dei miei.

Ciao

[Vincent46]

@Vincent,
ma sei anche tu un avventore di Mario?
Nel merito della dimostrazione.

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sia n un numero coprimo con 10 e consideriamo m0, la piú piccola repunit divisibile per n. La divisione di m0 per n fornirà un certo resto. Ora prendiamo la repunit m1, ottenuta da m concatenandole un'altra cifra 1

Questa parte non mi è chiara:
se $ m_0 $ è divisibile per $ n $ il resto non può che essere $ 0 $;
$ m_1 $ ed $ m $ chi sono?

Comunque l'impianto dimostrativo è efficace, anche se, ma è questione di gusti personali, preferisco un percorso costruttivo ad una dimostrazione per assurdo. Si può tranquillamente iniziare da un $ 1 $, procedere nelle divisioni fino a quando non si ripete un resto già trovato, senza badare all'eventuale resto nullo che si incontrasse (in fondo è del tutto assimilabile alla ricerca del periodo di un quoziente di interi).

Nel calcolo delle probabilità hai, secondo me, eliminato più volte gli stessi numeri; ed è per questo che ottieni risultati più bassi dei miei.

Ciao

certo che frequento Mario. Qualunque bar può offrirti un amaro della casa, ma un bel problemino serale? Quello è un'altra storia

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Purtroppo la fretta mi è costata qualche imprecisione. Al posto che "divisibile" intendevo "maggiore o uguale di". E al posto di $m$ intendevo $m_0$. In ogni caso concordo, nel far la dimostrazione come hai detto tu si spendono meno parole, quindi anch'io preferisco alla tua maniera.

Riguardo al numero totale dei casi favorevoli, ci riprovo: $6400$? Ma non ho molte aspettative, odio contare. Tanto la domanda originaria era solo se convenisse o meno scommettere.

Ciao!