Triangoli sulla scacchiera

Messaggioda RobStam » 30/01/2017, 14:45

A chiunque voglia cimentarsi in un problema relativo al calcolo combinatorio.

Questo è in problema della finale internazionale del 2006 (seconda giornata)
"Matilde fa osservare a Mattia che vi sono 76 maniere diverse di disporre tre pedoni non allineati su di una scacchiera 3x3, in modo che una casella contenga un solo pedone.
"E allora'Y' gli chiede Mattia. "Se si moltiplica questo numero per 5, si ottiene il prodotto delle nostre eta, ovvero ii prodotto di 19 e 20".
Mattia riflette un attimo, poi fa osservare a Matilde che so si moltiplica per 5 il numero delle maniere diverse di disporre tre pedoni non allineati su di una scacchiera 8x8, si ottiene un numero notevole.
Qual è questo numero?"

Ho provato a risolverlo.
Il totale dei modi di disporre 3 pedine sulla scacchiera 8x8 è pari alle combinazioni di 64 elementi presi tre alla volta = 41664.

Ho poi calcolato il totale dei modi di inserire le pedine in modo allineato sulla scacchiera: su ogni riga della scacchiera ci sono 6 modi e le righe totali sono 8 in orizzontale e 8 in verticale. Il totale dei modi che ho ottenuta è risultata essere 6 x 8 x 2 =96.

Ho calcolato poi il numero di modi di inserire le tre pedine in modo allineato lungo le diagonali: 6 sulla diagonale principale, poi 5 sulle diagonali adiacenti, poi 4 su quelle vicine, poi 3 su quelle successive, poi 2 ed infine 1 possibilità quando si raggiunge la diagonale del quadrato 3x3. In totale ho ottenuto 6 + (5+4+3+2+1) x2 = 36.
Ripetendo lo stesso ragionamento sulla seconda diagonale, il totale dei modi di disporre le pedine in modo allineato lungo le diagonali mi è risultato: 36 x 2 = 72.

Quindi il totale dei modi di posizionare le pedine in modo allineato sulla scacchiera è risultato: 96+72 = 168.

Quindi le pedine potranno essere disposte in modo non allineato in 41664 - 168 = 41496 modi.

Dovendo moltiplicare per 5 questo risultato, la risposta che ho ottenuto è 207480, mentre quella che dovrebbe essere corretta è 200600.

Ci sono altri modi di posizionare le tre pedine in modo allineato sulla scacchiera che non ho considerato?
Ringrazio in anticipo chiunque voglia dedicarsi alla soluzione del problema.

RobStam
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Re: Triangoli sulla scacchiera

Messaggioda Vincent46 » 30/01/2017, 15:04

Hai considerato solo le disposizioni in cui le tre pedine sono allineate e adiacenti, ma nel problema non si fa riferimento al fatto che le pedine debbano essere adiacenti.
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Re: Triangoli sulla scacchiera

Messaggioda superpippone » 31/01/2017, 10:25

I conti non mi tornano...

8 righe da 8 $56*8=448$
8 colone da 8 $56*8=448$
2 diagonali da 8 $56*2=112$
4 diagonali da 7 $35*4=140$
4 diagonali da 6 $20*4=80$
4 diagonali da 5 $10*4=40$
4 diagonali da 4 $4*4=16$
4 diagonali da 3 $1*4=4$

$448+448+112+140+80+40+16+4=1.288$

$41.664-1.288=40.376$

$40.376*5=201.880$

Che cosa mi manca (avanza)????
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Re: Triangoli sulla scacchiera

Messaggioda axpgn » 31/01/2017, 12:53

Così a occhio penso che abbiate contato anche gli allineamenti tipo $a1 - c2 - e3$ o $a1 - b3 - c5$ ...
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Re: Triangoli sulla scacchiera

Messaggioda superpippone » 31/01/2017, 13:05

Vabbè!!!!!
Allora non gioco più.......
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Re: Triangoli sulla scacchiera

Messaggioda riemannstella » 04/03/2017, 18:09

a me torna la stessa soluzione di superpippone, non riesco però a capire l'errore...
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Re: Triangoli sulla scacchiera

Messaggioda orsoulx » 05/03/2017, 11:02

riemannstella ha scritto:non riesco però a capire l'errore...

Basta usare il suggerimento di Alex.
axpgn ha scritto:penso che abbiate contato anche gli allineamenti tipo a1−c2−e3 o a1−b3−c5 ...

Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
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Re: Triangoli sulla scacchiera

Messaggioda riemannstella » 05/03/2017, 13:34

Ok, ma non capisco cosa voglia dire con a1−c2−e3 o a1−b3−c5 ... :(
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Re: Triangoli sulla scacchiera

Messaggioda orsoulx » 05/03/2017, 14:06

Alex ha usato la consueta simbologia degli scacchi: linee etichettate con lettere consecutive( di solito maiuscole) e perpendicolari con numeri positivi consecutivi.
Usando la notazione cartesiana sarebbero $ (1,1); (3,2); (5,3) $ e $ (1,1); (2,3); (3,5) $ ...
Ovviamente sono possibili rette con inclinazioni ancora diverse tipo $ (1,1): (2,4); (3,6) $...
Ciao
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Re: Triangoli sulla scacchiera

Messaggioda riemannstella » 05/03/2017, 14:21

Ora capisco la notazione, ma sinceramente non capisco quindi le ripercussioni, cioè i casi di allineamento sono quelli quando due caselle stanno sulla stessa riga o colonna o diagonale giusto? quindi le configurazioni di Alex che significano esattamente, e come si fa quindi a completare l'esercizio? :(
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