Il nastro adesivo

[RobStam]

Ringrazio fin d'ora chiunque voglia dedicarsi a questo problema tratto da una sessione di allenamento matematico:

Un grosso rotolo di nastro adesivo ha il diametro di 20 cm. Dopo averne utilizzati 39 metri, il diametro è diventato di 19 cm.
Quanti metri bisogna ancora utilizzarne perch´e il diametro diventi di 10 cm?[/b]

La risposta proposta utilizza questo concetto:
Poichè il nastro adesivo ha spessore costante, la sua lunghezza è proporzionale all’area della sezione del rotolo.
In tal modo si elimina il problema del pi-Greco.

l’area della parte corrispondente ai 39 metri già consumati è pari a A1: pi-Greco * (10^2-9,5^2)= 39/4 * pi greco
mentre l’area corrispondente a quello che si deve ancora consumare è A2: pi-Greco * ( 9,5 ^2 - 5^2) = 261/4 *pi-greco
Quindi, detta x la lunghezza del nastro corrispondente alla sezione grigio chiaro si ha:
x : A2 = 39 : A1,
x= 261 m esatti.

Io ho provato a risolverlo utilizzando la circonferenza invece dell'area del cerchio.
Ho dato per scontato che il diametro del nastro è omogeneo in tutti i punti e ho considerato la lunghezza totale delle circonferenze svolte pari a 39 metri.

Detto r (9,5 cm) il raggio della circonferenza più interna del primo srotolamento e R (10 cm) quella della circonferenza più esterna, k il numero di avvolgimenti completi, ed a lo spessore del nastro, ho scritto:
r + ka = R
2*pi-greco*k*r+2*pigreco*a*(k*(k+1))/2=3900 [ho considerato circonferenze di raggio crescente, da 9,5+a a 9,5 + ka ed ho utilizzato la formula che dà la somma dei primi ka naturali]

Ho così ottenuto che:
k=1/(2a)

Sostituendo l'espressione di k nella seconda equazione:
2*pi-Greco*9,5*1/(2a)+2pi-Greco*a*((1/2a)*((1/2a)+1))/2=3900
Sono pervenuto al valore dello spessore a = (39 * pi-Greco)/(15600-2*pi-Greco) a vale circa 7,857146243*10^-3 cm.

A questo punto ho considerato che il raggio del nastro deve passare da 9,5 a 5 cm ed ho proceduto a ritroso:
Si sa che: 5 + h*a = 9,5 dove h è il numero di avvolgimenti completi durante il secondo svolgimento.
h= 4,5/a

h = 572,7270259

Ed infine ho calcolato la lunghezza del nastro da svolgere per avere quella riduzione in diametro:
2*pi-greco*h*5+2*pigreco*a*(h*(h+1))/2= (con a ed h prima trovati)
17992,75017+8110,874743 = 26103,62491 cm cioè circa 261 m.


Chiedo se secondo voi il modo di procedere considerando la somma si circonferenze può essere ugualmente valido anche se non porta ad un risultato intero.

Grazie ancora
RobStam

[veciorik]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$ 39 * (19-10)/(20-19) * (19+10)/(20+19) = 261 $

PS:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Il rapporto tra le lunghezze totali è uguale al prodotto di due rapporti:

- tra il numero di avvolgimenti o, meglio, tra le differenze dei diametri esterni ed interni

- tra le lunghezze degli avvolgimenti medi o, meglio, tra i diametri medi, ossia tra le somme dei diametri esterni ed interni

così opero con numeri naturali trascurando $\pi$ e gli avvolgimenti incompleti.