E' evidente che chiudo in attivo se $k>n/b$
Così come è evidente che k (numero di successi su n prove) è una variabile binomiale $K~B(n;1/a)$
A questo punto la probabilità $P(K>n/b)$ si può risolvere o con la distribuzione binomiale o con il terorema del limite centrale se n è grande
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Possiamo vedere il tutto anche con un esempio numerico:
Abbiamo un'urna con 10 palle di cui una bianca. Paghiamo un euro per accedere al gioco e incassiamo 9 euro se esce la palla bianca. Giochiamo 100 volte.
$P(SigmaX>0)=P(K>100/9)=P{Z>(11.5-10)/sqrt(9)}=P{Z>0.5}~~30.85 % $
che è un' approssimazione del risultato esatto: 29.697%
Osservazione: il quesito posto nella traccia è diverso dal quesito del titolo. Per sapere semplicemente se è più probabile chiudere in attivo o in passivo basta vedere se il gioco è equo. E per fare questo basta calcolare la media di una giocata. Se la media è maggiore di zero sarà più probabile chiudere in attivo.
$X-={{: ( (b-1) , -1 ),( 1/a , (a-1)/a) :}$
$E[X]=(b-a)/a>0 rarr b>a$
quindi secondo l'ipotesi $b<=a$ a lungo andare chiuderò in perdita