E' più probabile gaudagnare soldi o perderli?

[kobeilprofeta]

Ho un urna contenente $a$ palline, di cui una sola bianca. Pago un euro e ne vinco $b$ se la pallina estratta è bianca, zero altrimenti. (In generale $b<=a$).
Se ripeto il gioco $n$ volte, qual è la probabilità che io chiuda positivo in bilancio (cioè guadagno più di n euro)?

[tommik]

E' evidente che chiudo in attivo se $k>n/b$

Così come è evidente che k (numero di successi su n prove) è una variabile binomiale $K~B(n;1/a)$

A questo punto la probabilità $P(K>n/b)$ si può risolvere o con la distribuzione binomiale o con il terorema del limite centrale se n è grande

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Possiamo vedere il tutto anche con un esempio numerico:

Abbiamo un'urna con 10 palle di cui una bianca. Paghiamo un euro per accedere al gioco e incassiamo 9 euro se esce la palla bianca. Giochiamo 100 volte.

$P(SigmaX>0)=P(K>100/9)=P{Z>(11.5-10)/sqrt(9)}=P{Z>0.5}~~30.85 % $

che è un' approssimazione del risultato esatto: 29.697%

Osservazione: il quesito posto nella traccia è diverso dal quesito del titolo. Per sapere semplicemente se è più probabile chiudere in attivo o in passivo basta vedere se il gioco è equo. E per fare questo basta calcolare la media di una giocata. Se la media è maggiore di zero sarà più probabile chiudere in attivo.

$X-={{: ( (b-1) , -1 ),( 1/a , (a-1)/a) :}$

$E[X]=(b-a)/a>0 rarr b>a$

quindi secondo l'ipotesi $b<=a$ a lungo andare chiuderò in perdita

[kobeilprofeta]

Scusa se uppo ora, ma non sono d'accordo con questa frase:

Per sapere semplicemente se è più probabile chiudere in attivo o in passivo basta vedere se il gioco è equo.

Questo è vero solo per $n$ molto grande, ma il senso del problema era proprio un altro.
Se ad esempio faccio un gioco in cui nel 99% dei casi vinci 1€ e nel 1% perdi un milione; ha chiaramente valore atteso negativo, ma per $n$ piccolo è più probabile finire in guadagno.
Il senso del topic era questo.