Re: Soluzioni intere

Messaggioda Maryana67 » 29/03/2017, 15:43

ollyolly ha scritto:
Maryana67 ha scritto:
$((2*3^n) - 5)$

sia un intero quadrato perfetto ma è evidente che per

$n>3$

ciò non è possibile...

Ciao Claudio.


Sono d'accordo con tutto ma come mai per $n>3$ non ci possono essere soluzioni?

@ollyolly
@axpgn

Buongiorno a tutti.
Mi sono appena reso conto che forse i puntini di sospensione da me lasciati (per n>3 ciò non è possibile...) sarà meglio lasciarli come sono, nel senso che credo che la prova di quanto sopra sia anche possibile ma ciò esula dallo scopo di questa sezione e che poi, anche volendo sorvolare e fare eccezione, si andrebbero a toccare ambiti matematici che dovrebbero darsi per scontati (ben conosciuti). Pertanto, non potendo usare semplici considerazioni di ricorrenza o di aritmetica modulare (ci ho provato per mio conto ma altri più bravi di me mi hanno sconsigliato di proseguire) si dovrebbero allo scopo introdurre concetti di equazioni diofantee quadratiche, fino anche a conoscere per bene la trattazione delle equazioni di Pell generalizzate compreso il conseguente uso delle frazioni continue etc. etc. ... se il bravo moderatore di turno volesse spostare la questione in una sezione più consona, ben venga... l'argomento è molto affascinante e probabilmente in questo bel forum ma non so dove, già ampiamente trattato.
:) 8-)
Per quanto mi riguarda, almeno qui e in questa sezione, considero l'argomento chiuso.
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@axpgn
Nota solo per Alex che mi ha letto ieri nella sezione Generale (che peraltro fintanto avrà tal nome, continuerà a raccogliere qualsiasi tipo di domande di nerd neofiti come me del tipo: "Cosa posso preparare stasera per cena?" :-D :D
... evinco che il moderatore di turno si divertirà un mondo a fare da smistatore... :wink:
... nel merito della mia domanda sulle notifiche mi pare, se non ho mal interpretato il tuo "humor inglese", che esista solo la notifica via mail e che però non è poi così scontato arrivi (quando arriva) in tempi umani... :snakeman:
Ho capito bene Alex? :shock: :lol:

Ciao a tutti.
Claudio.
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Re: Soluzioni intere

Messaggioda axpgn » 29/03/2017, 16:01

@Maryana67
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Maryana67 ha scritto:... del tipo: "Cosa posso preparare stasera per cena?" :-D :D ...

Ma quella è nel posto giusto ... :lol:

Comunque sì, le rare volte che ho sottoscritto un argomento le notifiche arrivavano abbastanza "random" come tempistica ... peraltro il moderatore che è intervenuto dopo di me ha detto che si possono sottoscrivere "feed RSS" ... non chiedermi come, torna là e chiedi ... :-D

Per quanto riguarda il topic mi pare di aver appurato un fatto (peraltro completamente inutile ... :-D ) e cioè, nel caso specifico $x^2\ =\ 2*3^n-5$, per ogni $n>1$ deve essere $x -= 2 (MOD 9) vv x -= 7 (MOD 9)$ ... IMHO ...
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Re: Soluzioni intere

Messaggioda Maryana67 » 30/03/2017, 20:44

axpgn ha scritto:@Maryana67
Maryana67 ha scritto:Per quanto riguarda il topic mi pare di aver appurato un fatto (peraltro completamente inutile ... :-D ) e cioè, nel caso specifico $x^2\ =\ 2*3^n-5$, per ogni $n>1$ deve essere $x -= 2 (MOD 9) vv x -= 7 (MOD 9)$ ... IMHO ...


@axpgn
Ciao Alex,
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
... mah, ti dico dove sono arrivato prima di fermarmi. Facilemente si trova che x e n per ipotesi interi, se esistono, devono essere entrambi dispari (facile da provare). Poi sviluppando e trasformando si riesce a trovare che $x^2 \equiv 4(mod)9$ e siccome è anche dispari sarà $x^2 \equiv 13(mod)18$. Siccome è un quadrato perfetto sara definitivamente come soluzione intera $m \equiv \pm 7(mod)18$ ... se a te viene in mente qualcosa, io qui mi sarei fermato per "esaurimento" subito dopo aver scoperto che guarda caso è:
[inizio correzione]
$ x^2 \equiv 13(mod)18$ e che $x^2 = 6*9^n - 5 \equiv 13(mod)18 = 3^n - 1$ per tutti gli $n$ dispari.
[fine correzione]
(scusate mi è venuto in mente che avevo scritto male e ho corretto... ma qui il log delle correzioni esiste?)

E poi anche perchè potendo applicare le equazioni di Pell generalizzate tal cosa si dimostra in zero nanosecondi:

$x^2-2*y^2= 8z+3 = -5; z=-1$ non ha soluzioni intere punto!

(tieni presente che sotto particolari restrizioni $3^n$ può considerarsi sempre come un quadrato perfetto ad esempio per tutti $n$ pari ma anche per tutti i dispari $n>3$ si può trovare una costante moltiplicativa...)
... ora a parte quel breve, inutile rosicamento è anche questo uno dei motivi per cui la matematica è bella :shock: , non credi Alex? :-D :-D :-D
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