Quadrati perfetti

[Maryana67]

Salve a tutti, un giochetto facile facile, giusto per richiamare qualcuno a giocare (siamo messi maluccio)...

Un quadrato perfetto ha quattro cifre. Quando ciascuna cifra è incrementata di 1 si forma un altro quadrato perfetto.
Quali sono i due quadrati perfetti in questione?

Tempo di risoluzioni max. 1 minuto ... scherzo! avete tutto il tempo
... i più "superbravi" non si offendano però...
Ciao Claudio
P.S. intanto provo se le notifiche funzionano

[axpgn]

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$2025$ e $3136$

[ollyolly]

Simpatico

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Sapendo che il risultato è tra le soluzioni naturali di $ n^2+1111=m^2 $ si ottiene $45^2$ e $56^2$

[veciorik]

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$(m+n)(m-n) = 1111 \ = \ 101*11 \qquad \Rightarrow \qquad m=(101+11)/2=56 \quad , \quad n=(101-11)/2=45$

[kobeilprofeta]

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Ho $b^2=a^2+1111 => (a+b)*(b-a)=101*11$
${(a+b=101),(b-a=11):} => {(a=45),(b=56):}$

I due quadrati sono $45^2=2025$ e $56^2=3136$

[Albesa81]

Piccola variante sul tema: la differenza tra un quadrato perfetto e il precedente è \(\displaystyle 1111 \). Quanto valgono i due quadrati perfetti?

[ollyolly]

Piccola variante sul tema: la differenza tra un quadrato perfetto e il precedente è \(\displaystyle 1111 \). Quanto valgono i due quadrati perfetti?

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Il problema in questo caso è $ n^2+1111= (n+1)^2 $ da cui l'immediata soluzione $ 555^2 e 556^2 $

[Albesa81]

Ok, adesso però la mia domanda è: oltre a \(\displaystyle (2025, 3136) \) e \(\displaystyle (308025, 309136) \) esistono altre coppie di quadrati perfetti la cui differenza è pari a \(\displaystyle 1111 \)? Esiste un modo per dirlo senza usare la "forza bruta"?

[axpgn]

Beh, più grandi degli ultimi due non ce ne sono per forza ... ... e anche i primi due sono stati trovati ragionando non con la forza bruta (vedi veciorik per esempio ...)

[veciorik]

Cosa significa "forza bruta" ?
I fattori di $ \qquad 1111 \qquad $ sono $ \quad 1 \ , \ 11 \ , \ 101 \ , \ 1111$
Ci sono due soli modi, quelli già visti, per scomporre $ \qquad a^2-b^2=(a+b)(a-b)=1111 \qquad $ come prodotto di due di questi fattori:
$$ \ a+b=101 \ , \ a-b=11 \ $$ $$ \ a+b=1111 \ , \ a-b=1 \ $$