Al solito ottima riposta di nino.
Se vuoi capire la storia della somma del reciproco delle quote, allora leggi qua:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Supponi di giocare $g$ euro su un evento quotato $q$ e di voler vincere $v$. Vale ovviamente $q*g=v$, da cui $g=v/q$ mi dice quanto devo giocare su un esito quotato $q$, se voglio vincere $v$ (lordi).
Ora supponi che l'evento abbia $n$ possibili esiti. Nel caso dell'1X2 del calcio hai n=3. In una gara con 20 macchine hai n=20 per il vincitore.
Ogni esito ha la sua quota. Avrai in totale $n$ quote $q_1,...,q_n$. Se voglio essere sicuro di vincere, dovrò scommettere su ognuno degli $n$ esiti. Come visto sopra, se voglio vincere $v$ euro lordi (cioè comprensivi della spesa della puntata), dovrò giocare $frac{v}{q_i}$ sull'$i$esimo esito. E questo per ogni esito.
Spenderò allora in totale $frac{v}{q_1}+frac{v}{q_2}+...+frac{v}{q_n}=v*[frac{1}{q_1}+...+frac{1}{q_n}]$.
Ora se voglio essere sicuro di andare in positivo, mi serve che la spesa lorda (che ho appena calcolato) sia minore della vincita (cioè $v$).
Mi serve quindi $v*[frac{1}{q_1}+...+frac{1}{q_n}]<v$ cioè (dividendo per $v$)
$\sum_{i=1}^n frac{1}{q_i}=frac{1}{q_1}+...+frac{1}{q_n}<1$