La giostra

[RobStam]

E' da qualche giorno che sto tentando di risolvere questo quesito delle semifinali di Cesenatico.
Ringrazio fin d'ora chiunque voglia cimentarsi nella risoluzione del problema fornendo qualche suggerimento.

“Il sovrano del mio paese mi ha chiedo di progettare un recinto per un torneo molto particolare” disse un matematico.
“Vuole che la zona principale sia un trapezio ABCD, con base maggiore AB, circoscritto a una circonferenza di raggio
R; vi è poi un’area secondaria costruita prendendo un punto E sul prolungamento di CD dalla parte di C, esterno al
segmento CD, e disegnando la circonferenza inscritta al triangolo CEB di raggio r. Tutto questo deve seguire una ben
precisa proporzione: detto F il punto di intersezione delle rette AD e BC, deve valere R : r = AF : BE = 2. In quanti
modi posso scegliere dei valori interi per le lunghezze AB e BF in modo che 1 < BF < AB < 53?”



Ho considerato dapprima la condizione di circoscrittibilità del trapezio ABCD:
AB + CD = CB + DA
Ho chiamato con H l'altezza relativa alla base AB per il triangolo ABF e con 2R il diametro del cerchio inscritto.
Considerando la similitudine tra i triangoli ABF e CDF, ho ottenuto che:
2R : H = CB : FB
L'area del triangolo ABF vale quindi: (AB*R*FB)/CB
Il perimetro è AB+FA+FB =AB+DA+FD+FC+CB= AB+AB+CD+FD+FC=AB + perimetro (CFD)
Il perimetro di AFB è maggiore di 2*AB rispetto al perimetro di CFD.
Dalla similitudine tra CFD e ABF, si ha che:
AB/CD = perimetro ABF/perimetro CFD
Combinando le due relazioni trovate, ho ottenuto:
perimetro (ABF) = 2 * AB^2/(AB-CD)
Dalla relazione apotema = 2*area/perimetro ho ottenuto:
R=((2R*AB*FB)/CB)/((2*AB^2/(AB-CD))
Semplificando ho ottenuto:
AB*CB = FB*(AB-CD) o anche AB*(FB-FC)=FB*(AB-CD) da cui, AB=(FB*CD)/FC

Ho poi considerato il triangolo ECB.
L'area è EC*2*R/2, cioè EC*R
Il perimetro è lungo: EB + BC +EC, con EB = AF/2
AF/2+EC+CB, cioè (AF+2*EC+2*CB)/2
Dalla relazione apotema = 2*area/perimetro ho ottenuto:
(2*R*EC)/(AF+2*EC+2*CB)/2=(R/2)
e semplificando
8*EC=2*EC+FA+2*CB
ovvero, sostituendo FA con 2*EB,
EC= (EB+CB)/3

Ed ora, dopo tutte queste relazioni trovate, non riesco ad assemblarle per ottenere la risposta al quesito.
La strada è quella giusta? Ho tentato anche la strada della geometria analitica ma risultava ancora più complicata per le troppe variabili da tenere in considerazione.

Grazie ancora.
RobStam.

[orsoulx]

Bel problema! Ti confesso che, se non ci fosse stata la domanda conclusiva, avrei preso una cantonata micidiale.
Ognuno ha degli approcci che gli sono più congeniali. Con metodi puramente sintetici: come devono essere i triangoli $ ABF, DCF, ECB $ ?
Ciao