da aops

Messaggioda gio73 » 23/06/2017, 22:20

Without using calculator, find the vlaue of $\frac 1{4033}+\frac{2 \times2016}{{2016}^2+{2017}^2}+\frac{4 \times {2016}^3}{{2016}^4+{2017}^4}-\frac{8 \times {2016}^7}{{2016}^8-{2017}^8}$.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Let $2016=a$ and $2017=b$. We want the value of $\frac{1}{a+b}+\frac{2a}{a^2+b^2}+\frac{4a^3}{a^4+b^4}-\frac{8a^7}{a^8-b^8}$. Note that $\frac{4a^3}{a^4+b^4}=\frac{4a^3(a^4-b^4)}{(a^4+b^4)(a^4-b^4)}=\frac{4a^7-4a^3b^4}{a^8-b^8}$, so the last two fractions combine to $\frac{-4a^7-4a^3b^4}{a^8-b^8}=\frac{-4a^3(a^4+b^4)}{(a^4+b^4)(a^4-b^4)}=-\frac{4a^3}{a^4-b^4}$. Then we want $\frac{1}{a+b}+\frac{2a}{a^2+b^2}-\frac{4a^3}{a^4-b^4}=\frac{1}{a+b}+\frac{2a(a^2-b^2)-4a^3}{a^4-b^4}=\frac{1}{a+b}+\frac{-2a(a^2+b^2)}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}=\frac{1}{a+b}-\frac{2a}{a^2-b^2}=\frac{a-b-2a}{a^2-b^2}=-\frac{a+b}{(a-b)(a+b)}=-\frac{1}{a-b}=-\frac{1}{2016-2017}=1$.
gio73
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 4862 di 12003
Iscritto il: 27/11/2011, 14:41

Re: da aops

Messaggioda axpgn » 23/06/2017, 23:55

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
m.c.d. $a^8-b^8=(a^4+b^4)(a^4-b^4)=(a^4+b^4)(a^2+b^2)(a^2-b^2)=(a^4+b^4)(a^2+b^2)(a+b)(a-b)$

NUM:

$(a^4+b^4)(a^2+b^2)(a-b)+2a(a^4+b^4)(a+b)(a-b)+4a^3(a^2+b^2)(a+b)(a-b)-8a^7$

$(a^4+b^4)(a^3-a^2b+ab^2-b^3)+2a(a^4+b^4)(a^2-b^2)+4a^3(a^4-b^4)-8a^7$

$a^7-a^6b+a^5b^2-a^4b^3+a^3b^4-a^2b^5+ab^6-b^7+2a^7-2a^5b^2+2a^3b^4-2ab^6+4a^7-4a^3b^4-8a^7$

$-(a^7+a^6b+a^5b^2+a^4b^3+a^3b^4+a^2b^5+ab^6+b^7)$

$-(a^8-b^8)/(a-b)$

Quindi $-(a^8-b^8)/(a-b)*1/(a^8-b^8)=-1/(a-b)=-1/(2016-2017)=-1/-1=1$

Mi ci è voluto un po' per capire che $4033=2016+2017$ ... :D


Cordialmente, Alex
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 8564 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: da aops

Messaggioda teorema55 » 26/06/2017, 10:03

Preferisco la soluzione di Alex.

Io invece ho chiamato

$b=a+1$

ma è più incasinato.

Ciao.

M
Le persone credono di essere libere, ma sono soltanto libere di crederlo.
Jim Morrison
Avatar utente
teorema55
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 183 di 1382
Iscritto il: 12/04/2017, 12:48
Località: Lecco


Torna a Giochi matematici

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite