Area del rettangolo circoscritto ad un ellisse

[orsoulx]

per quanto riguarda la tua spiegazione, ho una domanda

Dato un rettangolo qualsiasi, se conduci dal suo centro le parallele (o le perpendicolari) ai lati, che figura trovi?
Ciao

[curie88]

In effetti...è molto più semplice di quello che mi aspettavo, non ero convinto, una cosa così ovvia...
Ci ragiono ancora un attimo su come hai trovato l-angolo' poiché ancora non mi è chiaro...saluti

[curie88]

OK, qui ci sono...quindi la formula devo sistemarla...

[curie88]

Ciao @orsoulx, sono stato impegnato da non poter dedicarmi molto alla tua risposta; noto ora che un llato, quello che calcoli con la formula distanza-retta-punto.coincide con
la misura del segmento polare che descrive l-ellisse, questo potrebbe anche essere ma non avendo ben chiaro cosa è $\alpha$, fatico appunto a comprendere la soluzione.
Tanto per farmi capire ti spiego come ho impostato io il problema così, potresti intervenire, se ti va naturalmente, a correggerne gli errori.
Ho scelto $t$ come angolo, tra la retta polare e l-asse focale, cioè l-asse x, ho posto il semi asse a su x ed il semiasse b su y.
Le intercette del rettangolo, intercettano l-asse y in due punti, $q_0$ in alto e $q_1$ in basso.
Tracciando la retta perpendicolare di un lato, e passante per O, si ottiene il segmento OH, che calcolo come:
$OH=q_0*cos(\phi)$
Dove $\phi$ è l-angolo tra il segmento OH e l-asse y, che varia con $t$
Questo angolo ho provato a calcolarlo in vari modi, l-ultimo che mi pare più razionale è dato dall-equazione:
tan(\phi)=(x-c)/y = (a*cost-c)/(b*sint)
dove essendo $c=\sqrt(a^2-b^2)$, riscrivo...
Se non si mette in dubbio che H=M, ovvero che il punto medio del lato coincida con il piede dell-altezza, allora si
puo considerare il lato intero come doppio di OM come d-altra parte tu hai fatto ed anche io...nonostante...
L-altro semi-lato, quello sulla tangente passante per P che chiamo AH lo calcolo come $q_1*sin(\phi)$, e credo che qui potrebbe esserci l-errore.
Infatti ho fatto questo ribaltanto $q_1$, intercetta inferiore e congiungendola con K, punto del rettangolo superiore, sul lato sinistro, ma dato che sono paralleli...
Quindi trovo l-area come $4q_0*q_1cos(\phi)sin(phi)$...
Se immetto il valore di $t=17pi/180$, i calcoli non tornano il valore atteso, ovvero calcolato da te ed axpgn;
ottengo un valore piuttosto distante $24,...$; nonostante con diverse riprove la formula restituisca valori sempre compresi tra 24 e 26.
Il valore $24$ lo ottengo come limite di $t-> 0$ poiché in $t=0$ il valore di $\phi$ non è definito, e qui...
Grazie per un eventuale aiuto. saluti.

[orsoulx]

quello che calcoli con la formula distanza-retta-punto.coincide con
la misura del segmento polare che descrive l-ellisse, questo potrebbe anche essere ma non avendo ben chiaro cosa è α

Sarebbe come dici se la tangente fosse perpendicolare al 'segmento polare', ma questo è vero solo nei vertici della conica.
$ \alpha $ è semplicemente il parametro dell'equazione parametrica dell'ellisse. Pensa alla circonferenza: la sua equazione parametrica è $ x=r cos \alpha; y=\sin \alpha $, se tu la 'schiacci' verticalmente ottieni un'ellisse il cui semiasse maggiore è $ a=r $, mentre quello minore dipende da quanto la 'schiacci' e diventa $ b $.
Passare dal parametro $ \alpha $ all'angolo $ \phi $ è quanto mai semplice: basta pensare al triangolo rettangolo $ OPH $ dove $ H $ è il piede della perpendicolare condotta sa $ P $ all'asse focale. $ OH= a cos\alpha; HP= b \sin \alpha$ e $ \phi $ è l'angolo $ HOP $...
La tua formula per l'area mi pare giusta, il problema è che il tuo $ \phi $ dovrebbe essere l'angolo che una tangente forma con l'asse focale, e passare da questo al tuo $ t $ è il problema che devi ancora risolvere.
Ciao

[curie88]

Vedevo $\alfa$ come il tuo $ \phi$, ed in effetti non è così, ho potuto verificare io stesso.
Il passaggio da $phi$ a $t$, sto tentando di trovarlo fin dall-inizio ma purtroppo trovo sempre un incognita in più,
la variabile che ho definito $k$, che nella rappresentazione sta tra le due che devo mettere in relazione.
A causa di una errata rappresentazione del problema, ho dedotto la formula sopra, che di conseguenza non è corretta.
Saluti e grazie.

[curie88]

La tua formula per l'area mi pare giusta, il problema è che il tuo $ \phi $ dovrebbe essere l'angolo che una tangente forma con l'asse focale, e passare da questo al tuo $ t $ è il problema che devi ancora risolvere.
Ciao

In effetti è proprio come dici, ho trovato la relazione tra $\phi$ e $t$, che è:

$tan(\phi)=b^2/a^2*\cot(t)$

Di conseguenza con le dovute sostituzioni, trovo la "formuletta" dell'area:

$area = 4{\sqrt(a² b⁴ \cot(t)² + a⁴ b²) sqrt(a⁶ + b⁶\cot(t)²)} / (a⁴ + b⁴\cot(t)²)$

che restituisce esattamente quanto trovato da voi.

Ciao, e grazie.

[orsoulx]

Prego. La perseveranza porta, spesso, buoni frutti. La formula che proponi, portando $ab$ fuori dalla prima radice e passando dalla cotangente alla tangente è identica all'altra.
Ciao