Torta divisa tra 100 persone

Messaggioda Drazen77 » 23/09/2017, 18:52

Vi propongo questo problema che non ho saputo risolvere e di cui non ho nemmeno compreso la soluzione dopo averla letta...

Una torta è divisa tra 100 persone.
La prima ne riceve l'1%.
La seconda riceve il 2% del pezzo rimanente.
La terza riceve il 3% di ciò che rimane.
Così via fino all'ultima persona, la centesima, che prende il 100% dell'ultimo pezzo.

Chi ha ricevuto la fetta più grande?
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Re: Torta divisa tra 100 persone

Messaggioda kobeilprofeta » 23/09/2017, 19:43

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
.01
.99*.02
.99*.98*.03
...
.99*...*.02*.99
.99*...*.02*.01

In generale la n esima persona prende
$n/100*\prod_1^{k-1} frac {100-j}{100}$
Sì tratta di maxare questa funzione
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Re: Torta divisa tra 100 persone

Messaggioda orsoulx » 23/09/2017, 20:06

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il 10°, che ottiene più del 6.28% della torta.

Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
"Sono venticinque secoli che la filosofia inquadra i problemi, ma non scatta mai la foto.” - Edoardo Boncinelli, L'infinito in breve.
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Re: Torta divisa tra 100 persone

Messaggioda wanderer » 23/09/2017, 20:59

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Definisco la successione:

$ { ( x_1 = 0.01 ),( x_n = (1 - sum_{i=1}^{n-1} x_i)n/100 ):} $

dove $x_i$ rappresenta la grandezza della fetta presa dall'i-esima persona
abbiamo la seguente equazione:

$x_{n} - x_{n-1} = -{n-1}/100 x_{n-1} + x_n / n$

$x_n = x_{n-1} {1 - {n-1}/100}/{1-1/n}$

$x_n - x_{n-1} > 0 rArr {1 - {n-1}/100}/{1-1/n} > 1 rArr n <= 10$

quindi è il 10° ad avere la porzione maggiore di torta.
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Re: Torta divisa tra 100 persone

Messaggioda Drazen77 » 23/09/2017, 21:02

Bravi.
orsolux ha dato anche la percentuale esatta...
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