Una sfera, su cui giacciono $n$ sfere...

[curie88]

Buon giorno a tutti, ho pensato al seguente gioco, che dovrebbe essere già noto, di cui vorrei conoscere, o meglio,
verificarne la soluzione, se esiste, dato che in rete non ho trovato nulla.

Un solido è formato da una sfera al centro di raggio $R$, sulla cui superficie sono state disposte
uniformemente $n$ sfere di raggio $r$. Sapendo che i raggi di tutte le sfere sono numeri interi,
è possibile calcolare il valore di $n$, se questo deve essere massimo? Se si quanto vale?

Nel caso non fosse possibile, si può comunque esprimere $n$ in funzione dei raggi?

Con la speranza di essere stato abbastanza chiaro, vi ringrazio anticipatamente, augurandovi una buona Domenica.

[orsoulx]

Escludendo i cinque solidi platonici, mi è difficile pensare ad n sfere identiche disposte 'uniformemente' sulla superficie di un'altra sfera.
Ciao

[curie88]

Per disposte intendo tutte tangenti tra loro, un esempio:
http://www.orianapagliarone.it/enigma/Image24.gif
Solo che se devono avere raggi interi....
Diciamo che ho calcolato quanti cerchi con raggi interi è possibile disporre intorno ad un altro cerchio(la risposta qui è semplice, non penso di essermi sbagliato) quindi ho pensato si potesse in qualche modo estendere...
Ciao.

[orsoulx]

Purtroppo il passaggio da due a tre dimensioni non è indolore. Mentre nel piano posso recintare un cerchio con un numero qualsiasi (maggiore di due) di cerchi, fra loro congruenti, di raggio opportuno; con le sfere le cose cambiano.
Consideriamo i centri delle sfere (più di tre) che siano tangenti alla sfera centrale ed alle gemelline adiacenti. Questi centri dovrebbero essere vertici di un poliedro convesso regolare, ma, com'è arcinoto, i solidi platonici sono solo cinque.
Ciao

[curie88]

Ti ringrazio per la spiegazione, molto interessante, tolto il dente tolto il "dolore"...
Per il calcolo del numero $n$ di cerchi tangenti tra loro, con raggio $r$, e a loro volta tangenti
al cerchio centrale di raggio $R$, ho trovato questa:
$n=\pi/arcsin{r/(R+r)}$
Sapresti dirmi cortesemente se è corretta?
Se lo è, mi risulta che per ottenere $n$ intero con $R>0$ e $r>0$ interi,
deve essere $R=r$, che implica sempre $n=6$

[orsoulx]

Sapresti dirmi cortesemente se è corretta?

A mio avviso è corretta, come corrette sono le deduzioni successive.
Ciao