Geometria semplice

Messaggioda axpgn » 25/09/2017, 23:10

I quadrati costruiti sui tre lati di un triangolo hanno l'area pari a $74, 116, 370$.
Trovare l'area del triangolo.

Cordialmente, Alex

P.S.: Metodi alternativi ai soliti (Erone e trigonometria) ?
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Re: Geometria semplice

Messaggioda kobeilprofeta » 26/09/2017, 08:57

Soluzione "facile"
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$a=sqrt (74),b=sqrt (116),c=sqrt (370),p=frac {a+b+c}{2} $
$A=sqrt(p (p-a)(p-b)(p-c)) $
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Re: Geometria semplice

Messaggioda Drazen77 » 26/09/2017, 09:46

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Con Erone direi 11, ma tu non vuoi Erone...
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Re: Geometria semplice

Messaggioda axpgn » 26/09/2017, 09:48

Ok Kobe, ma il risultato? Non si può prescindere dal risultato :-D (anche perché ... :wink: )

Ok Drazen, se ne hai altri ... :D

Cordialmente, Alex
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Re: Geometria semplice

Messaggioda Drazen77 » 26/09/2017, 13:55

Effettivamente calcolare il semiperimetro con la formula di Erone pubblicata da kobeilprofeta non è facilissimo... :-D
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Re: Geometria semplice

Messaggioda kobeilprofeta » 26/09/2017, 15:34

Drazen77 ha scritto:Effettivamente calcolare il semiperimetro con la formula di Erone pubblicata da kobeilprofeta non è facilissimo... :-D

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Moltiplicando per $frac {sqrt (16)}{4}$ ottieni $frac {sqrt ((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))}{4} $
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Re: Geometria semplice

Messaggioda orsoulx » 27/09/2017, 09:15

@Alex:
non mi è chiara la richiesta dei 'metodi alternativi': se esistessero scorciatoie, sarebbero state sicuramente già trovate, vista la vetustà del problema.
Io proverei con una delle 'classiche' dimostrazioni dei teoremi citati
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Assumiamo come base del triangolo il lato di maggiore lunghezza (così siamo certi che il piede dell'altezza è interno alla base) ed indichiamo con $x$ la proiezione su questo del più corto. Ricavando col T. di Pitagora l'altezza del triangolo utilizzando i due triangoli rettangoli da questa formati ed eguagliando i risultati otteniamo: $ 74 -x^2=116-370-x^2+2xsqrt (370) \rightarrow x=164/sqrt(370)$
Da cui l'altezza $ h=sqrt(74*370-164^2)/sqrt(370) $
e l'area $ A=sqrt(74*370-164^2)/2=sqrt(37*185-82^2)=11 $

Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
"Sono venticinque secoli che la filosofia inquadra i problemi, ma non scatta mai la foto.” - Edoardo Boncinelli, L'infinito in breve.
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Re: Geometria semplice

Messaggioda axpgn » 28/09/2017, 00:09

Per casi come questo, con queste "caratteristiche", un metodo alternativo è il seguente:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine

Non è una soluzione grafica ma algebrica, l'immagine la rende chiara ... no? :-D


Cordialmente, Alex
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Re: Geometria semplice

Messaggioda orsoulx » 28/09/2017, 20:43

Alex:
interessante e secondo te uno dovrebbe:
a) avere l'intuizione necessaria, forse buoni rapporti coi Santi in Paradiso, potrebbero servire;
b) accertarsi che siano soddisfatte le condizioni opportune?
Sarebbe interessante, anche se difficile, calcolare la probabilità, che estraendo a caso le aree dei quadrati (diciamo fra 1 e 1000), si ottenga un triangolo a cui è applicabile il metodo alternativo.
Col disegno non sono (quasi) necessari calcoli, basta contare i puntini: $ 10+4/2-1=11 $
Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
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Re: Geometria semplice

Messaggioda axpgn » 29/09/2017, 00:01

Dai che è bellina! :D Pochissimi conti e niente radici :-D

Comunque, in pratica, non è così improbabile "trovarli" come sembrerebbe ... o meglio, non era ... perché quando non c'erano i computer ed i calcoli erano un po' più difficili da fare, molti di questi problemi venivano "costruiti" in questo modo ed è facilissimo farlo: disegni un rettangolo e prolunghi i due lati avendo solo l'accortezza che il segmento che unisce gli estremi dei prolungamenti sia esterno al rettangolo (e ovviamente che le misure dei lati e dei prolungamenti siano intere ... :D )

Un altro problema, che assomiglia a questo, è il seguente:

Trovare l'area della figura piana convessa composta in questo modo: un triangolo $A$, i tre quadrati costruiti sui tre lati e le cui aree sono pari a $18, 20, 26$ e i tre triangoli che "tappano" i vuoti tra i quadrati (chiusi dai tre segmenti che collegano i vertici liberi dei quadrati).

Cordialmente, Alex
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