Alla fiera dell'est (II)

[orsoulx]

A grande richiesta il seguito della leggenda arzerbaigiana. Questa prosegue, ripetendosi con una modifica quasi impercettibile.
Aleksej Aleksandrovich Comvoldim (Alex per gli amici) torna l'anno successivo alla fiera di Baku dal medesimo commerciante.

A – “Mi servono 4 6 arshin di quel lino di fiandra. Ho del pesce affumicato di ottima qualità, possiamo fare uno scambio?”
V – “Certo! Visto che sei tu, facciamo 1000 once di pesce.”
A – “Dai! Sai che ho delle difficoltà economiche. Fammi un po’ di sconto.”
V – “Vabbe’, ti accontento, ma lo sconto te lo devi guadagnare. Ho un problema con una soluzione interessante: ti faccio 400 once all’arshin.”
A – “Alla faccia dello sconto! Mi stai prendendo in giro?
V – “No. Devo ancora spiegarti quale lunghezza misureremo. Tagliamo la stoffa, poi tu la dividi lungo una diagonale e dipingi una delle metà, usando, come ti pare più conveniente, al massimo tre colori (senza sovrapporli per inventarti tonalità diverse). Io cercherò la coppia di punti più lontani del medesimo colore: mi darai 400 once per ogni arshin di questa distanza.”
A – “Mi sembra un problema interessante, ma ho due dubbi: posso lasciare una parte in bianco? Cosa me ne faccio di una tela tagliata e dipinta?”
V – “Sì, puoi lasciare della stoffa non colorata, naturalmente io potrò considerare anche distanze fra due punti bianchi. Per il secondo...beh! Svegliati, puoi, ovviamente, farti un disegno in scala esatta e useremo quello.
A – “Quanto è alta la stoffa?”
V – “Chi ti impedisce di misurarla? Laggiù usano i piedi fiamminghi.“
Aleksej, mostro ancora una volta la sua bravura: risolse il problema nel migliore dei modi e guadagnò uno sconto del 20% esatto.
Sapete rispondere all’ultima domanda del matematico?

[axpgn]

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Io sono arrivato a $1.76$ (circa), che dici? Sono ancora lontano oppure no?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex,

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Come al solito le tue misure sono un po' più piccole delle mie (forse hai lavato la tela prima di misurarla), comunque nulla di importante: la differenza è più vicina al 5%, piuttosto che al 10%.

Ciao

[veciorik]

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$ \ 1.8703... \quad = \quad 6 \ \sqrt((4-(1+sqrt(7)))/(1+sqrt(7))) \quad = \quad 6 \ tan(\theta) \qquad $ ove $ \qquad cos(4 \theta)=3tan(\theta) $

[orsoulx]

@veciorik,
ho rischiato di slogarmi la mandibola. Il tuo risultato col radicale a tre piazze è incredibilmente preciso: differisce da quello che ritengo esatto per circa 1/100.000.000. Quanto vuoi per spiegare da dove salta fuori?
Non mi torna, invece, la parte goniometrica: se ricavo $ theta $ dalla prima uguaglianza e lo sostituisco nell'equazione trovo che il primo membro vale 0.354... e il secondo 0.935...
Ciao

[axpgn]

Quanto vuoi per spiegare da dove salta fuori?

Eh ... appunto ...

[orsoulx]

@veciorik,
tempo scaduto! Ritiro l'offerta: il tuo risultato è perfetto. Arrotondato era il mio, perché non mi ero accorto che si poteva evitare il calcolo attraverso le funzioni goniometriche.

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Al più si possono ridurre le operazioni scrivendolo come $ sqrt(sqrt(4032)-60) $. Spiegalo ad Alex e fatti spiegare il suo per la prima puntata, così sarete pronti per la domanda finale.

Ciao

[veciorik]

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$ 6 tan(\phi)[=6 sin(\phi)/cos(\phi)] \ =2 sin(4\phi) \ = 8 sin(\phi)cos(\phi)[2cos^2(\phi)-1] = sin(\phi) * [16 cos^3(\phi)- 8 cos(\phi)] $

$ 16 cos^4(\phi) - 8 cos^2(\phi) - 6 = 0 \qquad \rightarrow \qquad 4 cos^2(\phi)=1+sqrt(7)$

$ tan^2(\phi)=(1-cos^2(\phi))/cos^2(\phi)=4/(4cos^2(\phi))-1= 4 / (1+sqrt(7)) - 1 = 4/6 (sqrt(7)-1) - 1 = (2 sqrt(7) - 5)/3$

$ h=6 tan(\phi) = sqrt(36/3 (2 sqrt(7)-5)) = sqrt(24 sqrt(7)-60) = 1.8703025064278169255299470698491 $

[axpgn]

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Forse non ho capito io (probabile ... ) ma sia nel triangolo verde che nel triangolo blu ci sono punti più distanti di $2$ ... no?

[veciorik]

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Non avevo evidenziato le aree colorate ma solo il calcolo degli angoli e dell'altezza.
Partendo dal vertice più acuto a sinistra le quattro aree sono:

1. triangolo isoscele con lati obliqui lunghi 2
2. trapezio isoscele con diagonali lunghe 2
3. trapezio isoscele con diagonali lunghe 2
4. quadrilatero con diagonale maggiore lunga 2, il cui lato maggiore è l'altezza della tela

Invece dei poligoni si possono usare anche settori circolari con raggio 2 e centri nei vertici della spezzata del disegno precedente, e della sua simmetrica rispetto alla bisettrice dell'angolo sinistro, eseguendo opportune intersezioni, ma non è necessario.