Uova e piramidi

[axpgn]

@veciorik

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Per tutte e due la risposta è $193$

[veciorik]

ok

[Drazen77]

Che peso grava su ogni uovo del 193º strato?
E su ogni uovo del 194º?

[axpgn]

Me lo devi dire tu ... io lo so ... ... (e so anche quante uova per quegli strati) ... e comunque SPOILER!

[veciorik]

Metodo rapido per una soluzione approssimata:

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Le figure sono piramidi scalinate con altezza = lato base = $ x $

In prima approssimazione considero piramidi "liscie", senza scalini, per calcolare l'area di base A e il volume V:

di una piramide con base quadrata $ A = x^2 \qquad V = x^3/3 $

di una piramide con base triangolare equilatera $ A = x^2 * f \qquad V=x^3/3 * f \quad $ dove $ \quad f=sqrt(3)/2$

In approssimazione "bruta" esprimo il requisito del problema come $ \ V/A <= 64 $

Tradotto in $ \ x^3/(3 x^2) = x/3 <= 64 \ $ con soluzione $ \ x=192 \ $ per entrambe le piramidi "liscie"

Se, correttamente, escludo lo strato "base" dal volume: $ \ V_{\text(sup)}/A = (x-1)^3/(3x^2) \ $ ottengo $ \ x = 194 $

Se calcolo $ \ V_{\text(sup )} \ $ "arrotondando" gli scalini con altezza=lato=$ \ x-1/2 \ $ ottengo $ \ x=193$

[Drazen77]

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Che peso grava su ogni uovo del 193º strato?
E su ogni uovo del 194º?

[veciorik]

@Drazen77
Riformulo le tue domande senza citare la risposta al quiz originale.

Che peso grava su ogni uovo della base ?

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Nel tetraedro $(193-1)/3=64$ uova, da 2 once ciascuna.

Nella piramide $193/3 - 1/2 + 1/(6*193)=63.834...$

Che peso graverebbe su ogni uovo della base se si potesse aggiungere uno strato senza far crollare tutto ?

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Nel tetraedro $(194-1)/3=64 + 1/3$ uova.

Nella piramide $194/3-1/2+1/(6*194)=64.167...$

[andomito]

io con la piramide quadrata arrivo fino al piano 256

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Il trucco è rendere cava la parte centrale della piramide, ponendo le uova solo sulla superficie. Difficile da realizzare senza una impalcatura o un po' di colla, lo concedo, ma una volta fatto la struttura si regge da sola.
Fino al piano 129 (partendo dall'alto) metto le uova solo sulla superficie in uno strato spesso un uovo, poi scendendo inizio a disporle in strati via via più spessi (se no ho il collasso al piano 130). Così arrivo a coprire l'intera base al livello 256, oltre il quale avrei il collasso.
Il risultato è una piramide con dentro una cavità a forma di ottaedro di spigolo e semialtezza pari a 127 uova.
Probabilmente si potrebbe migliorare ulteriormente, inserendo ulteriori più piccole cavità (ottaedriche?) nella parte piena aggiunta, ma lascio l'esercizio a chi si vuole divertire.
Un ulteriore miglioramento si avrebbe sfruttando proditoriamente l'assunto che il peso si distribuisce uniformemente, aggiungendo dopo il piano 129 alle uova sulla superficie solo lo stretto numero di uova necessario a mantenere la pressione al di sotto del limite. Così al 193° piano ci arrivo con un peso di uova pari a circa il 4% di quello di una piramide piena consentendomi di andare avanti ancora ed ancora... certo trascurando il peso della colla che devo impiegare per tenere a posto le uova.