Tre e Sette

[axpgn]

Qual è il più piccolo intero positivo $N$ formato solo con le cifre $3$ e $7$ tale che sia il numero $N$ che la somma delle sue cifre sia divisibile per $3$ e per $7$ ?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

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Se non è imposta la contemporanea presenza delle due cifre $ 777$, altrimenti $ 3*7^2*22676039 $.

Ciao

[axpgn]

Che metodo hai usato?

Cordialmente, Alex

[melba]

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Perché il numero cercato sia multiplo di 3 la somma delle cifre deve dare un multiplo di 3 e perché sia multiplo di 7 la somma delle cifre meno 2 volte la cifra delle unità deve dare un multiplo di 7, il primo multiplo di 3 utile è 42 (perché i multipli di 3 precedenti non possono risultare dalla somma di 3 e 7). Fra i numeri che soddisfano queste condizioni il più piccolo è 3.333.333.777. Giusto?

Saluti
Melba

[axpgn]

@melba

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Quel numero non è divisibile per $7$.

Il tuo ragionamento non mi è chiarissimo, in particolare sei sicuro che questa proprietà

... e perché sia multiplo di 7 la somma delle cifre meno 2 volte la cifra delle unità deve dare un multiplo di 7, ...

sia vera ?
A me non pare (vedi per.es $161$)

Cordialmente, Alex

[dan95]

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Il numero deve necessariamente avere la cifra 7 ripetuta almeno 3 volte e la cifra 3 ripetuta almeno 7 volte, dunque il numero ha almeno 10 cifre
3333333777
3333337377
3333337737
3333337773
3333373377
3333373737
3333373773
3333377337
3333377373
3333377733 (funziona)

[orsoulx]

Che metodo hai usato?

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La tua curiosità, che mi piace molto, è superata solo dalla volontà di difendere ad oltranza le cose che affermi, e questo mi piace meno. Allora: affinché la somma delle cifre sia divisibile per sette il numero di $ 3 $ che compaiono deve essere un multiplo di sette e, viceversa, per garantirne la divisibilità per tre, il numero di $ 7 $ deve essere un multiplo di tre. $ 777 $ è il più piccolo numero che soddisfa queste condizioni, ed essendo divisibile per tre e per sette è, a mio avviso, la 'soluzione' del quesito.
Volendo intendere la domanda nel senso dell'obbligatoria presenza contemporanea delle due cifre, il più piccolo numero che si può formare è $ 3333333777 $ che è divisibile per tre (è garantito dalla somma delle cifre), ma purtroppo non per sette. Basta allora spostare uno o più dei $ 3 $ finali fino ad ottenere questa condizione. Sfruttando il criterio di divisibilità per sette si vede immediatamente che lo spostamento dell'ultimo $ 3 $ o del penultimo non basta, ma occorre spostarli entrambi.

Ciao

[melba]

@axpng
Hai ragione mi ha sviato una cosa che ho trovato in rete.

Melba

[axpgn]

Ecco il mio ragionamento ...

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La primo volta l'ho trovato in modo simile a dan95, poi ho cercato un metodo diverso ...
Appurato che occorrono tre $7$ e sette $3$ e che qualsiasi numero con queste cifre è divisibile per tre, rimane da trovare la "minore" combinazione divisibile per sette.
Consideriamo dieci $3$, i resti modulo $7$ dei $3*10^k$ sono $3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4$ per $k$ da $0$ a $9$ e quindi $3333333333-=1\ MOD\ 7$
Di conseguenza dobbiamo toglierne tre la cui somma dei resti sia $1$ o $8$ o $15$ (i sette non aggiungono resto)
Ci sono sei combinazioni che rispettano tali condizioni e quella $6, 4, 5$ ha il minore "esponente massimo" perciò il numero cercato è $3333377733$

E se aggiungessimo $5$? Ovvero tra gli interi positivi $N$ formati con una combinazione qualsiasi delle cifre $3, 5, 7$, con almeno un $3$ e almeno un $5$ e almeno un $7$, qual è il minore che sia divisibile per $3$, per $5$ e per $7$ e lo sia anche la somma delle sue cifre?

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Per completare, il numero cercato è :

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$33.577.577.777.777.775$