Serie di triangoli equilateri inscritti uno dentro l'altro.

[curie88]

Buona vigilia a tutti, ho pensato al seguente problemino, molto probabilmente già noto, a cui ho trovato una soluzione praticamente esatta, poiché successivamente verificata con geogebra. Sul fatto che la soluzione sia teoricamente corretta, ho ancora qualche dubbio, ma in seguito la posterò, per confrontarla.
Si consideri la figura seguente, che rappresenta una "Serie di triangoli equilateri inscritti, uno dentro l'altro e alternativamente capovolti/ruotati."



Assumiamo che i triangoli si ripetano uno dell' altro "ad infinitum". Quanto vale la somma totale dei loro Perimetri?
Ovviamente vorrei confrontare le soluzioni teoriche, e non mi accontento del semplice risultato, che è abbastanza intuitivo.

Buone feste, e grazie per l'eventuale interesse.

[axpgn]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Detto $p$ il perimetro del triangolo più piccolo e posto $a_0=p$ sarà $a_n=2*a_(n-1)=2^n*p$ e, detta $S_n$, l'ennesima somma parziale, sarà $S_n=(2^(n+1)-1)*p$

Cordialmente e Buon Natale, Alex

[z(-1)]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Il lato del primo triangolo è 2, quello del secondo 1, quello del terzo 0.5, quello del quarto 0.25...
Il perimetro è uguale a lato * 3, che possiamo tranquillamente lasciare al di fuori della somma (costanti).
Formalmente si può esprimere come

$$3l\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{2^{n}}$$

dove l è il lato del primo triangolo.
Il risultato è quindi 12, dato che la somma infinita del reciproco delle potenze di 2 è 2 e il nostro lato è uguale a 2.

Ecco comunque la dimostrazione.

Lasciamo 3l da parte, in quanto costante.
Chiamiamo la somma S del reciproco delle potenze di 2
$$ S = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... $$
Mettiamo in evidenza 1/2
$$ S = \frac{1}{1} + \frac{1}{2}(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ...) $$
da cui segue che
$$ S = 1 + \frac{1}{2}S $$
$$ S - \frac{1}{2}S= 1 $$
$$ S = 2 $$

Moltiplichiamo per le costanti che avevamo tralasciato inizialmente
$$ 3l*S = 3*2*2 = 12 $$

[curie88]

Grazie per le risposte,

Detto $ p $ il perimetro del triangolo più piccolo...

OK...parti dal più piccolo, io son partito come @z(-1) dal più grande. Probabilmente non sei partito dal più grande perché consideri che sia più semplice così. E' stata una mia dimenticanza non aver specificato di partire dal lato esterno di misura $L$, comunque meglio così, hai reso una soluzione in più.

"Il lato del primo triangolo è 2, quello del secondo 1, quello del terzo 0.5, quello del quarto 0.125..."

Ho seguito il tuo stesso procedimento, ma tu non hai dimostrato perché il lato si dimezza ogni volta...ho commesso un errore aver messo il valore del lato, che solo in seguito ho calcolato con "geogebra", ovviamente prima bisogna calcolarlo matematicamente. Tu come faresti?

Intanto posto la mia soluzione:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Detta $L$, la lunghezza del lato del triangolo più esterno, e detto $l$, il lato del triangolo ad esso simile che sta più in alto, rispetto al primo, per la similitudine: le rispettive basi stanno tra loro come le rispettive altezze.
$L : l = L*sqrt(3)/2 : (L*sqrt(3)/2 - l*sqrt(3)/2)$
da cui segue:
$L = 2l$ (notando che $l$ è anche il lato del triangolo inscritto, nel precedente.)
Poi ho proseguito come @z(-1), ovvero calcolando la nota serie e quindi ottenendo il risultato:
$P = 6L$

[axpgn]

@curie88

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

... ma tu non hai dimostrato perché il lato si dimezza ogni volta ...

Pochi giorni fa è stato postato questo ... lì ce ne sono un po' di dimostrazioni ...

Cordialmente, Alex

[curie88]

Ottimo! Grazie.