Ho deciso di pubblicare la soluzione dell'indovinello con 3 domande.
ATTENZIONE SOLUZIONE:
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Per risolverlo bisogna definire prima una relazione d'ordine per le parole. In modo che date due parole diverse si possa dire quale delle due sia la più grande e quale la più piccola.
Definiamo una relazione d'ordine $ R $ per le parole.
Per fare ciò definiamo una funzione iniettiva $ f $ che faccia corrispondere ad ogni parola un numero naturale. E in quanto funzione iniettiva, a parole diverse corrispondono numeri diversi.
Siano $ p_1 $ e $ p_2 $ due parole qualunque, diremo che $ p_1 \leq p_2 $ secondo la relazione d'ordine $ R $ se e solo se $ f(p_1) \leq f(p_2) $
La funzione $ f $ è definita in questo modo, sia $ p $ una parola formata dalle lettere $ l_0 l_1 ... l_k $, e sia $ n_i $ il numero naturale di due cifre corrispondente alla posizione della lettera $ l_i $ nell'alfabeto. Abbiamo che $ f(p) = n_0 n_1 ... n_k $
Ovvero quello che andiamo a fare è sostituire ogni lettera $ l_i $ di $ p $ con il numero corrispondete alla posizione di $ l_i $ nell'alfabeto per formare un numero.
Esempio con "casa" e "cane":
A $ \Rightarrow 01 $
C $ \Rightarrow 03 $
E $ \Rightarrow 05 $
N $ \Rightarrow 14 $
S $ \Rightarrow 19 $
$ f(\text{Casa}) = 03011901 $
$ f(\text{Cane}) = 03011405 $
Paragoniamo i due numeri secondo la relazione d'ordine standard. La parola che corrisponde al numero più piccolo è la parola più piccola.
Nel esempio $ 03011405 < 03011901 $ dunque cane $ < $ casa
Oppure ancora come esempio possiamo prendere la parola "BE" e la parola "Z"
B $ \Rightarrow 02 $
E $ \Rightarrow 05 $
Z $ \Rightarrow 25 $
$ 25 < 0205 $ dunque z $ < $ be
$ R $ è una relazione d'ordine, infatti è riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Dunque date due parole diverse si può sempre dire quale sia la parola più grande. Inoltre due parole sono "grandi uguali" se e solo se sono la stessa parola, infatti la funzione che fa corrispondere una parola ad un numero è iniettiva.
Siamo dunque certi che le parole utilizzate dagli oracoli per dire "si" e per dire "no", siccome parole diverse, avranno numeri diversi come immagine e pertanto una sarà "più grande" dell'altra.
Poniamo la domanda 1 e la domanda 2 all'oracolo A
Domanda 1
"La parola da voi utilizzata per dire "si" è più piccola - secondo la relazione d'ordine $ R $ - della parola da voi utilizzata per dire "no" ?
Domanda 2
"La parola da voi utilizzata per dire "no" è più piccola - secondo la relazione d'ordine $ R $ - della parola da voi utilizzata per dire "si" ?
Sia $ r_1 $ la risposta che otteniamo alla domanda 1 e sia $ r_2 $ la risposta che otteniamo alla domanda 2.
Compariamo le due risposta che abbiamo ottenuto dall'oracolo A secondo la relazione $ R $
Possiamo trovarci in uno dei seguenti casi.
i) $ r_1 < r_2 $ significa che l'oracolo A è Onesto, $ r_1 $ e $ r_2 $ sono due parole distinte
ii) $ r_2 < r_1 $ significa che l'oracolo A è Bugiardo, $ r_1 $ e $ r_2 $ sono due parole distine
iii) $ r_1 = r_2 $ significa che l'oracolo A è Xor, , $ r_1 $ e $ r_2 $ sono la stessa parola.
Nel caso i) A è Onesto, dunque chiediamo ad A
Se ti chiedessi: "B è Bugiardo ?" Mi risponderesti $ r_1 $?
La risposta $ r_1 $ indica che B è Bugiardo e C è Xor.
La risposta $ r_2 $ indica che C è Bugiardo e B Xor
Nel caso ii) A è Bugiardo, dunque chiediamo ad A
Se ti chiedessi: "B è Onesto?" Mi risponderesti $ r_1 $?
La risposta $ r_1 $ indica che B è Onesto e C è Xor
La risposta $ r_2 $ indica che C è Onesto e B è Xor
Nel caso iii) A è Xor, dunque chiediamo a B
Se ti chiedessi: "C è Onesto?" Mi risponderesti $ r_1 $?
La risposta $ r_1 $ indica che C è Onesto e B è Bugiardo
La risposta $ r_3 $ indica che B è Onesto e C è Bugiardo
Spiegazione
Per semplicità supponiamo che le parole utilizzate dagli oracoli siano "Nir" e "Sir"
Secondo la relazione d'ordine $ R $ abbiamo che NIR $ < $ SIR indipendentemente dal loro significato
Caso 1) Sir = si e Nir = no. Supponiamo dunque che la parola "più grande" significhi "si"
1.1) Facciamo la domanda 1 all'oracolo A
-Onesto risponde NIR (che significa no) ovvero risponde con la parola più piccola secondo la relazione $ R $
-Bugiardo risponde SIR (che significa si) ovvero risponde con la parola più grande secondo la relazione $ R $
-Xor risponde SIR (significa si)
1.2) Facciamo la domanda 2 all'oracolo A
- Onesto risponde SIR (che significa si) ovvero risponde con la parola più grande secondo la relazione.
- Bugiardo risponde NIR (che significa no) ovvero risponde con la parola più piccola secondo la relazione.
Xor risponde SIR (che significa si)
Caso 2) Sir = no, Nir = si. Supponiamo dunque che la parola "più grande" secondo la relazione significhi "no"
2.1) Facciamo la domanda 1 all'oracolo A
- Onesto risponde NIR (che significa si) ovvero risponde con la parola più piccola secondo $ R $
- Bugiardo risponde SIR (che significa no) ovvero risponde con la parola più grande secondo la relazione.
- Xor risponde NIR (che significa si)
2.2) Facciamo la domanda 2 all'oracolo A
- Onesto risponde SIR (che significa no) ovvero risponde con la parola più grande secondo la relazione
- Bugiardo risponde NIR (che significa si) ovvero risponde con la parola più piccola secondo la relazione.
- Xor risponde NIR (che significa si).
