Mi ero dimenticato di aver posto questo indovinello, ecco la soluzione integrale:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Le mosse da fare per arrivare in quarta posizione lo lascio a voi. Invece qui di seguito la dimostrazione che non si può raggiungere la quinta riga. Sia $F_n$ l'n-esimo numero di fibonacci.
Con un po' di immaginazione possiamo assegnare un valore ad ogni casella della scacchiera:
Scusate ma non ho idea di come fare qui con LaTeX una tabella, quindi immaginate
|$F_{n}$ |$F_{n+1}$ | $F_{n+2}$ | $F_{n+1}$ | $F_{n}$|
-----------------------------------------
|$F_{n-1}$ |$F_{n}$ | $F_{n+1}$ | $F_{n}$ | $F_{n-1}$|
----------------------------------------- > questa è la linea di separazione, le pedine vengono messe sotto
|$F_{n-2}$ |$F_{n-1}$ | $F_{n}$ | $F_{n-1}$ | $F_{n-2}$|
-----------------------------------------
$|F_{n-3}$ |$F_{n-2}$ | $F_{n-1}$ | $F_{n-2}$ | $F_{n-3}$|
-----------------------------------------
Diremo che una pedina ha il valore corrispondente al valore della cella in cui è posizionata. Mentre il valore della scacchiera in un certo momento è uguale alla somma del valore di tutti le pedine. Le mosse possibili sono quelle di muoversi orizzontalmente oppure verticalmente. Abbiamo dunque che per la proprietà dei numeri di Fibonacci $F_{k-2} + F_{k-1} = F_k$
- Mi sposto orizzontalmente oppure verticalmente e il valore della scacchiera rimane invariato:
Una pedina con valore $F_{k-2}$ mangia una pedina con valore $F_{k-1}$ e giunge su una cella con valore $F_k$
$F_{k-2}+F_{k-1}=F_{k} = F_{k}$
- Mi sposto orizzontalmente oppure verticalmente e il valore della scacchiera diminuisce:
Una pedina con valore $F_{k}$ mangia una pedina con valore $F_{k-1}$ e giunge su una cella con valore $F_{k-2}$
$F_{k-1}+F_{k}=F_{k+1} > F_{k-2}$
- Mi sposto orizzontalmente in modo simmetrico rispetto all'asse centrale e il valore della scacchiera diminuisce:
Una pedina con valore $F_{k-1}$ mangia una pedina con valore $F_{k}$ e giunge su una cella con valore $F_{k-1}$
$F_{k-1}+F_{k}=F_{k+1} > F_{k-1}$
Abbiamo appena mostrato che il valore della scacchiera o rimane invariato oppure diminuisce, in altre parole non aumenta mai. Supponiamo per assurdo che una pedina riesca ad arrivare sulla quinta riga, significa che il valore della scacchiera $V_s \geq F_{n+5}$
Dimostriamo dunque che la somma dei valori del triangolo di Fibonacci centrato in $F_n$ è sempre minore di $F_{n+5}$, $\forall n \in \mathbb{N}$
Sia $S_0$ la somma dei valori della colonna centrale
$S_0 = \sum_{k=1}^{n} F_k = F_1 + F_2 + \ldots + F_{n-1} + F_n = F_3 + F_5 + \ldots + F_{n+1} $
Sommando e sottraendo uno alla sommatoria $S_0$ abbiamo che:
$S_0= S_0 + 1 - 1 = F_3+1 + F_5 + \ldots + F_{n+1} -1= F_4 + F_5 + \ldots + F_{n+1} -1 = F_n + F_{n+1} -1 = F_{n+2} -1 $
La somma $S_1$ dei valori della colonna adiacente a quella centrale ha valore:
$S_1 =\sum_{k=1}^{n-1} F_k = F_{n+1} -1 $
Cosi via per ogni colonna $S_i$
$ S_i = \sum_{k=1}^{n-i} F_k = F_{n+2-i} -1 $
Abbiamo dunque che la somma della configurazione iniziale (se ogni casella è occupata da una pedina):
$S= F_{n+2} -1 + 2 (F_{n+1} -1) + 2 (F_{n} -1) + \ldots + 2(F_3 -1) $
$= F_{n+2} + 2 F_{n+1} + 2 F_{n} + \ldots + 2F_3 - (2n+1)$
$=-(2n+1+2F_3) + \sum_{k=1}^{n+2}F_k + \sum_{k=1}^{n+1} F_k$
$=F_{n+4} + F_{n+3} - (2n+3+2F_3) = F_{n+5} - (2n+3+2F_3) < F_{n+5} $
Assurdo!
C.V.D.