Il buco nella sfera

[axpgn]

Supponete di avere una sfera solida di $6$ cm di diametro, praticatele un foro passante da parte a parte, perfettamente cilindrico ed in asse con uno dei diametri, lungo esattamente $6$ cm.
Qual è il volume residuo della sfera?
Adesso fate la stessa cosa per la Terra.
Supponete che la Terra sia perfettamente sferica, praticatele un foro passante da parte a parte, perfettamente cilindrico ed in asse con uno dei diametri, lungo esattamente $6$ cm.
Qual è il volume residuo della Terra?

Cordialmente, Alex

[dan95]

Quanto è largo il foro?

[axpgn]

Hai tutte le informazioni necessarie ...

[veciorik]

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Stesso volume $ \qquad \pi/6 \ 6^3 \ = \ 36 \pi \ \approx \ 113 \ \text{cm}^3$
Primo buco con diametro zero.
Secondo buco enorme.

[axpgn]

Enorme è poco ...

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Tu hai la dimostrazione di 'sto fatto? Perché io sono riuscito a dimostrare un paio di cose "simili" ma "minori", tipo "area anello" data corda tangente ma questa no ...

Cordialmente, Alex

[veciorik]

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Ho trovato su math.it parti della sfera la formula generale del volume del segmento sferico a due basi.

Sottratto il foro cilindrico ottengo $ \ V=(\pi h^3)/6$

Cercando altro è spuntata una vecchia conoscenza: Erasmus

Stanco di formule "magiche", ho percorso la via più diretta:

calcolo integrale del volume del solido di rotazione compreso tra sfera di raggio R e foro cilindrico di semialtezza $h$:

$\int_{-h}^h \pi [(R^2-x^2)- (R^2-h^2)]dx \ = \ 2 \pi \int_0^h (h^2-x^2)dx \ = \ 2 \pi [ h^2x-x^3/3 ]_0^h \ = \ (4\pi)/3h^3$

Il raggio della sfera è scomparso

[axpgn]

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Ci sei andato pesante ...
No, quello che intendevo trovare era la dimostrazione del fatto che il volume residuo della sfera dipende solo dalla lunghezza del foro e da nient'altro ... una proprietà in un certo senso simile, è quella che l'area di un anello (ovvero la differenza tra le aree di due cerchi concentrici) dipende solo dalla massima corda che è possibile tracciare nell'anello (qualcosa di analogo ho scritto qui)

P.S.: Non riesco ad aprire il link di Erasmus, va in time out ...

[veciorik]

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Ho modificato il messaggio precedente aggiungendo l'integrale che mostra come il raggio della sfera sparisca subito nella sottrazione tra sfera e buco, prima di sviluppare il calcolo integrale.

[axpgn]

Bene,