Il laghetto

Messaggioda axpgn » 06/04/2018, 18:33

Siete seduti su una piccola barchetta che si trova esattamente al centro di un ameno lago perfettamente circolare.
La giornata è splendida, le montagne attorno a voi sono stupende ma ... c'è un ma: un demone vi aspetta sulle rive del lago e se vi prende sono guai (per voi).
Il demone non sa nuotare né dispone di una barca, inoltre se riuscite a sbarcare in un punto dove lui non c'è, siete salvi perché correte più veloce di lui.
Purtroppo c'è una complicazione: il demone è in grado di correre al quadruplo della velocità massima raggiungibile dalla vostra barca.
Come pensate di sfuggire al demone?

Cordialmente, Alex
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Re: Il laghetto

Messaggioda veciorik » 06/04/2018, 23:48

A spanne:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Sia $ \ r \ $ il raggio del lago.
La barca anticipa il demone se giunge alla riva percorrendo radialmente un tratto minore di $ \ (\pi r)/4\approx 0.785 \ r \ $ mentre il demone percorre mezza circonferenza $ \ \pi r \ $ e partono da punti opposti rispetto al centro del lago.
Per portarsi in opposizione dal demone la barca parte dal centro seguendo una spirale via via più fitta finché arriva a $ \ r/4 \ $ dal centro ossia a $ \ 0.75 \ r \ $ dalla riva.

Se fosse difficile seguire una spirale siffatta, può suddividere il tragitto in tre:
  1. radialmente verso il demone per circa $ \ 2/9 \ r$
  2. circolarmente finché arriva in opposizione
  3. radialmente verso la riva per circa $ \ 7/9 \ r$
Sicuramente ci sono soluzioni più eleganti.
"Dietro ogni problema c'è un'opportunità" - "Nelle prove naturali non si deve ricercare l'esattezza geometrica" - "Stimo più il trovar un vero, benché di cosa leggiera, che 'l disputar lungamente delle massime questioni senza conseguir verità nissuna" (Galileo Galilei)
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Re: Il laghetto

Messaggioda Drazen77 » 08/04/2018, 07:50

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Mi posiziono a poco meno di $1/4$ del raggio dal centro del lago e giro in tondo intorno al centro.
Chiudo un giro più velocemente di quanto possa fare il demone accumulando qualche metro di vantaggio ad ogni giro e quindi continuo a girare finché non mi trovo dalla parte diametralmente opposta al demone rispetto al centro del lago.
A questo punto vado dritto verso riva e sbarco poco prima del suo arrivo.

Per esempio: in un lago di 400m di raggio, posizionandomi a 90m dal centro, dopo diversi giri intorno al centro del lago mi troverò in una posizione diametralmente opposta alla posizione del demone e sarò a 310m dalla riva. A questo punto andrò dritto verso riva e potrò sbarcare con qualche metro di vantaggio sul demone.
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Re: Il laghetto

Messaggioda veciorik » 08/04/2018, 23:46

La moglie diventa una iena se il barcaiolo ritarda più di 10 minuti.
Lui impiega 1 ora per approdare, dal centro del lago, se va dritto a riva.
Come fa il barcaiolo a sfuggire al demonio e alla iena ?
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Re: Il laghetto

Messaggioda axpgn » 09/04/2018, 16:04

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
La "rotta" circolare avente raggio $r/4$ è quella per cui le due velocità angolari sono uguali, pertanto finché la barca si mantiene "all'interno" di questo "cerchio" guadagna angolo rispetto al demone.
Peraltro partendo da una posizione, opposta a quella del demone e leggermente più interna a $r/4$ (per esempio $22%$ di $r$), è possibile raggiungere la riva sufficientemente in tempo.
Io penso che la "traiettoria" migliore sia una spirale che parte dal centro del lago in direzione sempre opposta alla posizione del demone, cioè una spirale in cui la velocità radiale è sempre quella massima diminuita della velocità tangenziale necessaria per tenere il demone sempre a $180°$; man mano che la velocità tangenziale aumenta quella radiale diminuisce, ma non sarà mai nulla perché, come detto, non è necessario arrivare a $r/4$ per puntare poi dritto a riva a tutta velocità.
Non credo ci sia una soluzione più "efficiente" ma non saprei dire se con questa soluzione si riesce a rimanere nella "tolleranza" di dieci minuti della moglie del barcaiolo ... :-D
Tutte queste considerazioni sono fatte nell'ipotesi che il demone segua sempre la barca come una "calamita" mentre potrebbe fare scelte diverse. Purtroppo per lui, scelte alternative peggiorerebbero solo la situazione ...


Cordialmente, Alex
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Re: Il laghetto

Messaggioda Drazen77 » 09/04/2018, 17:10

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Penso che questo sia un metodo veloce:
Immagine
Mi posiziono nel punto $A$ a poco meno di $r/4$. Il demone si posizionerà nel punto $N$.
Vado dritto nel punto $B$ e il demone si sposterà arrivando nel punto $K$.
Immagine
A questo punto inizio a girare in continuazione da $B$ ad $A$ e da $A$ a $B$ e il demone mi verrà dietro accumulando sempre più ritardo. Quando avrò fatto due o tre giri mi troverò in posizione diametralmente opposta alla sua e andrò dritto verso riva.
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Re: Il laghetto

Messaggioda veciorik » 09/04/2018, 18:37

... della barchetta che si trova esattamente al centro di un ameno lago ...

Dal centro parte il barcaiolo e da lì si prendono le misure.
... nell'ipotesi che il demone segua sempre la barca come una "calamita" ...

Non mettiamolo in discussione: il suo obiettivo è acchiappare il barcaiolo.
Per semplicità supponiamo che il demone giri sempre in senso antiorario a massima velocità.
Anche la barca gira sempre in senso antiorario e non oltrepassa mai il prolungamento della congiungente tra il demone e il centro del lago: non conviene far invertire al demone il senso di rotazione.

Per semplicità l'unità di misura delle distanze sia il raggio del lago, la velocità della barca sia 1 (un raggio all'ora) e quella del demone sia 4.

Drazen77:
non conviene passare prima per A per poi andare a B, si perde tempo e si accorcia la distanza. Non conviene neppure andare dritti a B perché così il demone si avvicina e dopo bisogna girare troppo per ritornare in opposizione. Prova a fare due calcoli con B a 0.2 e a 0.22 dal centro: credo che il percorso sia troppo lungo.

Alex:
la spirale è OK in linea di principio ma complica i calcoli, almeno per le mie attuali capacità :(

Per tutti:
è indiscutibile che l'ultimo tratto debba essere rettilineo, radiale, lungo 3/4, percorso in 45 minuti.
Resta da stabilire come convenga muoversi dentro al cerchio di raggio 1/4 per impiegare meno di 25 minuti, senza farsi prendere da demonio.
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Re: Il laghetto

Messaggioda Drazen77 » 09/04/2018, 18:51

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
veciorik ha scritto:è indiscutibile che l'ultimo tratto debba essere rettilineo, radiale, lungo 3/4

Devi partire da una distanza superiore a $3/4$ di $r$ dalla riva, perché partendo da $3/4$ di $r$ il demone arriva contemporaneamente a te.
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Re: Il laghetto

Messaggioda axpgn » 10/04/2018, 10:49

veciorik ha scritto:la spirale è OK in linea di principio ma complica i calcoli, almeno per le mie attuali capacità :(

Perché, a me no ? :lol: ... mi sembra proprio una questione per Erasmus il calcolo della spirale ... :D

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Comunque, non vedo soluzioni migliori alla spirale.
La supposizione che fai
veciorik ha scritto:Per semplicità supponiamo che il demone giri sempre in senso antiorario a massima velocità.
Anche la barca gira sempre in senso antiorario
non è accettabile, a mio parere, perché presupporrebbe che il demone non attui la migliore strategia.
Faccio un esempio.
Supponiamo che il demone sia a Sud e la barca parta dritta verso Nord. Assumendo che il demone giri sempre in senso antiorario, dopo 25 minuti si troverebbe grosso modo ad un quarto di giro ossia a Est, perciò la barca, in quel momento, dovrebbe invece trovarsi ad Ovest alla distanza $r/4$ dal centro.
Questo è facile da ottenere: per esempio, la barca, dopo aver percorso $r/10$ in direzione Nord, virerebbe verso il punto che ho appena citato e basta Pitagora per dimostrare che 25 minuti sono sufficienti per completare questo percorso.
Ma il demone non è sciocco e appena la barca cambia rotta, anch'esso inverte il senso di marcia: così facendo, dopo 25 minuti si troverebbe ad un angolo molto minore di 180°, bloccando di fatto la fuga.
IMHO


Cordialmente, Alex
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Re: Il laghetto

Messaggioda veciorik » 10/04/2018, 18:22

Alex,
suggerivo di non scavalcare la linea che congiunge il demone al centro, perché non conviene: ideale è tenere la barca sempre allineata col centro e il demone, ma non trovo la formula della "spirale", anzi credo che la traiettoria giusta non sia propriamente una spirale.

Drazen77,
la lunghezza del tratto finale, rettilineo e radiale, è compresa tra 3/4 e (1 - $\pi$/4). Suggerivo 3/4 per semplificare i calcoli e per indirizzarti verso la mia soluzione.

A tutti,
nella mia soluzione la barca arriva 0.14 unità prima del demone e allunga del 14% rispetto alla direttissima, un ritardo contenuto che risparmia le ire della "iena". Variando alcuni parametri posso diminuire il margine sul demone e il ritardo.
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