Il laghetto

[axpgn]

... ideale è tenere la barca sempre allineata col centro e il demone, ...

Ovvero l'obiettivo del barcaiolo è quello di avere sempre un angolo di 180° tra sé e il demone (perché se riesce a giungere a $r/4$ con quest'angolo è sicuro di farcela a raggiungere la riva).
Se questo è l'obiettivo della barca, non è certamente quello del demone quindi non si può supporre, anzi imporre, al demone di girare sempre nello stesso senso se non gli è conveniente.
Da ciò ne discende che è la barca che segue le mosse del demone e non viceversa; se la barca seguisse una rotta tutta sua indifferente dal movimento del demone, rischierebbe di trovarsi a $r/4$ con un angolo minore di 180° (anzi sarebbe certo) e non avrebbe la certezza di raggiungere la riva per prima.
D'altronde la barca è in grado di mantenere quell'angolo, in quanto finché naviga all'interno di $r/4$ può andare più veloce del demone.
Perché la spirale?
Provo a dettagliare meglio.
Premessa: l'obiettivo della barca è di mantenere sempre un angolo di 180° tra sè e il demone e contemporaneamente raggiungere la distanza di $r/4$ dal centro.
- la barca viaggia sempre alla velocità massima (in modulo)
- la barca parte in direzione opposta a dove si trova il demone in quel momento
- nello stesso momento il demone parte a circumnavigare il laghetto in un verso (quale sia è indifferente)
- immediatamente la barca vira nello stesso senso
- e continuerà a virare nello stesso senso del demone: se questi invertirà il senso, lo farà anch'essa
- la barca viaggerà ad una velocità angolare sempre correlata a quella del demone, in modo da mantenere sempre un angolo di 180° (né più né meno)
- man mano che la barca si allontana dal centro la componente tangenziale della velocità aumenterà (affinché riesca a tener lontano il demone) e dato che la velocità è costante, la velocità radiale diminuirà (senza mai arrivare a zero dato che la barca può permettersi di partire verso la riva quel 3% prima di $r/4$)
- la composizione di questi due moti è sicuramente una spirale che diventa sempre più "circolare", di cui non so determinare l'espressione analitica ma sicuramente è una spirale.

Cordialmente, Alex

[veciorik]

D'accordo su tutto eccetto la traiettoria a spirale.
Lo credevo anch'io, e l'avevo anche scritto, ma poi ho avuto una felice intuizione che spiegherò sotto spoiler.
Non posso imporre al demone di girare sempre antiorario però, se lui cambia verso e la barca lo imita immediatamente, nessuno ci guadagna: si complica solo la forma della traiettoria che va a zig-zag.
Questo vale finché l'angolo demone-centro-barca è 180° ma, se la barca si fissa a 179°, il demone perde terreno se cambia verso.
Ho rifatto i calcoli con l'angolo tenuto fisso a 179° ottenendo un anticipo sul demone di 0.12 e un ritardo di 0.14: questi sono i valori massimi quando la retta finale è lunga 0.75, ferma restando la traiettoria.

Ecco la mia soluzione, a parole:

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Mentre il demone gira con raggio 1, la barca gira con raggio 1/8 attorno ad un punto che dista 1/8 dal centro e giace su un raggio che forma un angolo di 90° con l'asse demone-centro, oppure 91° per scongiurare il cambio di verso.
La barca giunge a 0.25 dal centro facendo mezzo giro mentre il demone compie un quarto di giro.
Così la barca percorre 0.75 + $\pi$/8 = 1.143, ritardando 0.143 ore (circa 8.5 minuti) rispetto alla direttissima.
Intanto il demone gira per $\pi/2$ + 3 = 4.57 radianti e arriva a $\pi$ - 3 - 1° = 0.124 dall'approdo della barca.

Per curiosità ho calcolato l'anticipo e il ritardo in funzione dell'angolo percorso prima della svolta finale diritta verso riva.
Ecco un esempio: il demone gira per 75° prima che la barca svolti: la barca anticipa il demone di 0.09 e ritarda di 0.09 (5.4 minuti) rispetto alla direttissima. Ecco il disegno:

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[axpgn]

@veciorik

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Non so se sono riuscito ad interpretare correttamente la tua spiegazione quindi prendi le mie considerazioni con beneficio di inventario ...
Per giungere in $r/8$ la barca impiega sette minuti e mezzo (secondo i parametri che avevi impostato); in questo lasso di tempo, il demone "guadagna" quasi trenta gradi sulla barca (mezzo radiante), la quale, girando su $r/8$, dopo quasi $60°$ (un radiante) si riporta ad una distanza di mezzo giro dal demone (dato che va a velocità doppia, la barca intendo).
Ora se la barca continuasse su questa rotta a questa velocità si avvicinerebbe al demone invece di allontanarsi (senza che questo necessiti di invertire il suo senso di rotazione), questo perché l'angolo massimo tra i due NON può essere maggiore di $180°$.
Ammettiamo che la barca si mantenga all'opposizione del demone, ad un certo punto parte verso la riva: se parte in linea retta per passare da $r/8$ a $r/4$ impiegherà lo stesso tempo di prima, durante il quale il demone guadagnerà quel mezzo radiante che gli permetterà di trovarsi a poco più di $150°$ dalla barca quando questa giungerà a $r/4$, angolo sufficiente al demone per arrivare prima del barcaiolo.
Spero di essere stato chiaro ...

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Non so se sono riuscito ad interpretare correttamente la tua spiegazione quindi prendi le mie considerazioni con beneficio di inventario ...

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Per giungere in $r/8$ la barca impiega sette minuti e mezzo ... ; in questo lasso di tempo, il demone "guadagna" quasi trenta gradi sulla barca ...

La barca parte da centro lago (0,0) e segue una semicirconferenza centrata in (0, 1/8) che passa per il centro del lago: la barca non passa mai per (0, 1/8).
Nel frattempo il demone va da 181° a 271°.
Durante queste manovre l'angolo demone-centrolago-barca resta fisso a 179°.
Infine la barca va a riva diritta per 0.75 mentre il demone recupera 3 radianti, quasi 172°, dei 179° di svantaggio.

[axpgn]

Adesso ho capito benissimo, purtroppo c'è un problema di fondo ...

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Parti dal presupposto che il demone sia stupido ma non lo è: il suo obiettivo è quello di raggiungere la barca al momento dell'approdo, non di seguirla come fosse una calamita.
In questo caso, per esempio, potrebbe rimanere fermo lì dov'è, aspettare che la barca arrivi a $r/4$ e poi con comodo raggiungerla, dato che ci sarebbe un angolo solo di $90°$.
Come vedi, la maniera sicuramente certa di raggiungere la salvezza è quella di mantenere sempre un angolo barca-centro del lago-demone pari a $180°$ ed il modo più semplice di ottenere ciò è quello a spirale come composizione dei due moti (tangenziale con velocità pari a quella necessaria per avere la stessa velocità angolare del demone e radiale per differenza tra quella totale e quella tangenziale).

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Mai pensato che il demone fosse stupido: lui tenta di diminuire l'angolo ma la barca si adopera per mantenerlo tra 179° e 181° e ci riesce nella zona centrale dove può sfruttare una maggiore velocità angolare: qui ogni tentativo del demone di ridurre l'angolo fallisce se la barca reagisce bene cambiando verso conformemente al demone.
Attenzione: cambiare verso non significa retrocedere sul tragitto già percorso bensì seguire l'immagine riflessa della traiettoria ideale rispetto all'asse demone-centrolago che fa da specchio.
Se il demone si ferma, la barca ne approfitta per fare un tratto radiale verso riva, guadagnando distanza.

Ma queste manovre a zig-zag sono sterili complicazioni rispetto alla scelta della traiettoria ideale.

Ho trovato la dimostrazione analitica che la mia traiettoria è quella ideale. Uso i simboli:

$v_r \quad $ velocità radiale
$v_t \quad $ velocità tangenziale
$v=1 \quad $ velocità scalare massima della barca, che assumo costante
$t \quad $ variabile tempo
$\theta \quad $ variabile angolo
$\omega = (d\theta)/(dt) = 4 \quad $ velocità angolare massima, che assumo costante
$r(\theta) \quad $ funzione incognita: traiettoria ideale espressa in coordinate polari

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poiché $ \quad v_t=\omega r=4r \quad $ e $ \quad v_r=(dr)/(dt)=(dr)/(d\theta)*(d\theta)/(dt)=4(dr)/(d\theta)$

$v_r^2+v_t^2=v^2=1 \quad $ diventa $\quad 4^2[((dr)/(d\theta))^2+r^2]=1 \quad $ ossia $ \quad [((dr)/(d\theta))^2+r^2]=(1/4)^2$

che, con i vincoli $ \quad r(0)=0 \quad $ e $ \quad (dr)/(d\theta)(0)=1 \ $, ha la semplice soluzione:

$ r=sin(\theta)/4 \quad $ da cui $ \quad (dr)/(d\theta)=cos(\theta)/4 $

che è proprio la mia circonferenza decentrata con raggio 1/8.
Non è una spirale !

[axpgn]

Eh, no, non ci siamo ...

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Abbiamo già dimostrato che questa strategia è facilmente aggirabile, lo confermi tu stesso con la tua obiezione

Se il demone si ferma, ...

La tua strategia non è valida sempre ma solo se si verificano certe condizioni ... anche "andare dritti" se il demone si ferma è una strategia da provare: se il demone parte quando la barca ha passato $r/8$, per esempio, cosa fa la barca? Mah, dovremmo fare un bel po' di conti ...
La strategia giusta c'è: la barca deve sempre tenere il demone a $180°$ fino a $r/4$ e poi via dritta.
Questa funziona in ogni caso.
Parlo di "spirale" perchè la traiettoria è una spirale se il demone gira sempre nello stesso verso; se cambiasse spesso verso, la traiettoria della barca non sarebbe più "formalmente" una spirale però sarebbe una curva del tutto equivalente perchè formata da "archi di spirale" (della vera spirale) con "versi alternati".

Cordialmente, Alex

[veciorik]

La tua strategia non è valida sempre ma solo se si verificano certe condizioni ...¹
La strategia giusta c'è: la barca deve sempre tenere il demone a $180°$ fino a $r/4$ e poi via dritta.²
... la traiettoria è una spirale³ se il demone gira sempre nello stesso verso; se cambiasse spesso verso, la traiettoria della barca non sarebbe più "formalmente" una spirale però sarebbe una curva del tutto equivalente perché formata da "archi di spirale" (della vera spirale) con "versi alternati".⁴

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Note

1. la mia "strategia" è valida in condizioni IMHO "normali" ( velocità costanti in verso e in modulo ) e non è sostanzialmente diversa dalla tua, ma forse non l'ho spiegata bene. ↑
2. OK; ho aggiunto una tolleranza $179°-180°$ [ laurea in fisica nel 1979 ] soltanto per non "imbarcarmi" nelle complicazioni indotte da eventuali variazioni arbitrarie della velocità (vettoriale) da parte del demone. Può andare dritta a riva anche poco prima di $ \ r/4 \ $, purché dopo $ \ (1 - \pi /4) r \ $, per accorciare i tempi. ↑
3. OK, ma solo se comprendi anche le spirali sinusoidali tra cui, in particolare, la "mia" semicirconferenza di equazione polare $ \quad r=sin(\theta)/4 \quad , \quad 0 \le \theta \le \pi/2 \quad $ ↑
4. OK; per pignoleria aggiungerei la pausa del demone a cui la barca risponde con un tratto radiale, più efficace della pausa per evitare le ire della iena. Perché non ti convince ? L'angolo resta a 180° !
   Nel caso estremo in cui il demone rallentasse la velocità, la barca dovrebbe adeguare la sua velocità a 1/4 oppure, più efficacemente, aumentare il proprio raggio di curvatura della sua "spirale". ↑

[axpgn]

Aspetta che ricapitolo ...

- quando parlo di "tua strategia" mi riferisco solo a quella col semicerchio con $r=1/8$ e poi via; quella "non è buona" perché c'è la contromisura. Se mi dici "ma se il demone sta fermo, allora faccio in un altro modo", mi sembra evidente che non è più quella strategia lì ma un'altra, no?
- l'alternativa "vado a zizgag ovvero se il demone cambia verso, lo faccio anch'io" oppure "se sta fermo vado dritto", di fatto è una conferma (un pelino più complicata) della mia tesi: bisogna tenere il demone sempre in opposizione (fino a $r/4$ e poi via). Questa è la scelta giusta, questa è l'essenza della strategia giusta (al di là della spirale)
- Quando parlo di $180$, di $r/4$, ecc. lo faccio per semplicità: lo so che la barca potrebbe partire prima (grossomodo a $22%r$) oppure lasciare il demone a qualche grado in meno di $180°$ ... non avevo voglia di fare calcoli precisi (soprattutto come i tuoi )
- Ho usato la parola "spirale" principalmente per la forma assunta dalla traiettoria però credo che anche "tecnicamente" si possa definire "spirale" perché ne esistono di diversi tipi ma non saprei proprio dirti quale ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Le soluzioni proposte sono ineccepibili: quella di drazen77 ha il vantaggio della semplicità, l'altra ha quello della rapidità di attracco, ma mi pare di difficile esecuzione quando il demone cambi diverse volte il verso di rotazione. Entrambe hanno come limite un rapporto fra le velocità massime inferiore a $ pi+1 $. Esistono altre strategie in grado di superare questo limite, ad esempio con il demone dopato che corre ad una velocità massima uguale a $ 4.4 $ volte quella della barca.
Ciao