veciorik ha scritto:... ideale è tenere la barca sempre allineata col centro e il demone, ...
Ovvero l'obiettivo del barcaiolo è quello di avere sempre un angolo di 180° tra sé e il demone (perché se riesce a giungere a $r/4$ con quest'angolo è sicuro di farcela a raggiungere la riva).
Se questo è l'obiettivo della barca, non è certamente quello del demone quindi non si può supporre, anzi imporre, al demone di girare sempre nello stesso senso se non gli è conveniente.
Da ciò ne discende che è la barca che segue le mosse del demone e non viceversa; se la barca seguisse una rotta tutta sua indifferente dal movimento del demone, rischierebbe di trovarsi a $r/4$ con un angolo minore di 180° (anzi sarebbe certo) e non avrebbe la certezza di raggiungere la riva per prima.
D'altronde la barca è in grado di mantenere quell'angolo, in quanto finché naviga all'interno di $r/4$ può andare più veloce del demone.
Perché la spirale?
Provo a dettagliare meglio.
Premessa: l'obiettivo della barca è di mantenere sempre un angolo di 180° tra sè e il demone e contemporaneamente raggiungere la distanza di $r/4$ dal centro.
- la barca viaggia sempre alla velocità massima (in modulo)
- la barca parte in direzione opposta a dove si trova il demone in quel momento
- nello stesso momento il demone parte a circumnavigare il laghetto in un verso (quale sia è indifferente)
- immediatamente la barca vira nello stesso senso
- e continuerà a virare nello stesso senso del demone: se questi invertirà il senso, lo farà anch'essa
- la barca viaggerà ad una velocità angolare sempre correlata a quella del demone, in modo da mantenere sempre un angolo di 180° (né più né meno)
- man mano che la barca si allontana dal centro la componente tangenziale della velocità aumenterà (affinché riesca a tener lontano il demone) e dato che la velocità è costante, la velocità radiale diminuirà (senza mai arrivare a zero dato che la barca può permettersi di partire verso la riva quel 3% prima di $r/4$)
- la composizione di questi due moti è sicuramente una spirale che diventa sempre più "circolare", di cui non so determinare l'espressione analitica ma sicuramente è una spirale.
Cordialmente, Alex